Esta puede ser una pregunta un poco ingenua, pero tengo dificultades para comprender el concepto de tensores irreductibles. En particular, ¿por qué descomponemos los tensores en partes simétricas y antisimétricas? No he encontrado una justificación para esto en mis lecturas y estaría feliz de ganar algo de intuición aquí.
Puede descomponer un tensor de rango dos $ X_ {ab} $ en tres partes:
$$ X_ {ab} = X _ {[ab]} + (1 / n) \ delta_ {ab } \ delta ^ {cd} X_ {cd} + (X _ {(ab)} - 1 / n \ delta_ {ab} \ delta ^ {cd} X_ {cd}) $$
La primera término es la parte antisimétrica (los corchetes denotan antisimetrización). El segundo término es la traza, y el último término es la parte simétrica sin trazas (los corchetes denotan simetrización). n es la dimensión del espacio vectorial.
Ahora bajo, digamos, una rotación $ X_ {ab} $ se asigna a $ \ hat {X} _ {ab} = R_ {a} ^ {c } R_ {b} ^ {d} X_ {cd} $ donde $ R $ es la matriz de rotación. Lo importante es que, actuando sobre un $ X_ {ab} $ genérico, esta rotación tomará, por ejemplo, tensores simétricos libres de trazas a tensores simétricos libres de trazas, etc. tensores de rango 2, mantienen intactos ciertos subespacios.
Es en este sentido que las rotaciones que actúan sobre tensores de rango 2 son reducibles. Es casi como si se estuvieran llevando a cabo acciones grupales separadas, los tensores antisimétricos se mueven entre ellos, las simétricas sin trazas hacen lo mismo. Pero ninguno de estos tipos se rotará en miembros "del otro equipo".
Sin embargo, si miras lo que están haciendo las rotaciones para solo , di la traza simétrica tensores libres, los están batiendo entre ellos, pero no dejan ningún subespacio intacto. Entonces, en este sentido, la acción de las rotaciones sobre los tensores simétricos de rango 2 sin trazas es "irreductible". Lo mismo ocurre con los otros subespacios.
Los físicos siempre están interesados en qué propiedades de un sistema físico son invariantes bajo simetrías. Si es complicado ver la simetría, entonces reorganizarán el sistema para que la simetría sea más obvia.
Por ejemplo, considere un tensor covariante de rango dos como $ T ^ {ab} $. En general, los componentes de este tensor cambiarán si el tensor se gira en 3D. Es difícil ver qué podría ser invariante bajo rotación.
Ahora considere un tensor simétrico $ S ^ {ab} $. Nuevamente, los componentes de este tensor cambiarán cuando se gire. Sin embargo, se conserva la propiedad de ser simétrico. Entonces, desde el punto de vista de un físico, esto es interesante. De manera similar, un tensor antisimétrico $ A ^ {ab} $ permanece antisimétrico cuando se gira.
Así que tenemos buenas propiedades que se conservan para estas clases especiales de tensor, pero no para $ T ^ {ab} $. Pero como probablemente sepa, cualquier tensor $ T ^ {ab} $ puede escribirse como una suma de partes simétricas y antisimétricas, $ T ^ {ab} = S ^ {ab} + A ^ {ab} $. Entonces ahora sabemos que $ T ^ {ab} $ se puede escribir como una suma de dos partes, cada una de las cuales se comporta de manera más simple cuando se rota. Esto simplifica el análisis de lo que le sucede a $ T ^ {ab} $ cuando se rota.
Una vez que lo hayamos hecho, la pregunta obvia es "¿podemos hacer esto de nuevo"? Sería bueno si pudiéramos dividir $ T ^ {ab} $ en más partes que se comporten de la manera más simple posible bajo rotaciones.
Hay otra clase de tensor que se comporta bien bajo rotación: los tensores diagonales de la forma $ \ alpha \ delta_ {ab} $. En rotaciones, simplemente se mapean a sí mismos. Eso es tan simple como parece. También hay una clase de clase inversa: los tensores simétricos de traza cero. Estos mantienen su rastro de cero cuando se rotan. Pero aquí está lo bueno: cualquier tensor simétrico se puede escribir como la suma de un tensor diagonal y un tensor simétrico de rastro cero. Así que ahora hemos dividido $ T ^ {ab} $ en tres partes, cada una de las cuales tiene una buena propiedad de invariancia con respecto a las rotaciones.
¿Podemos continuar? Bueno, resulta que para tensores covariantes de rango dos en 3D, esto es todo lo que podemos llegar. Si intentamos romper las matrices antisimétricas, digamos, como la suma de dos piezas de un par de clases complementarias, siempre encontraremos que alguna rotación moverá un elemento de una clase a la otra. Así que tres clases es lo más lejos que podemos llegar. Los elementos de estas clases son los tensores irreductibles.
El espacio de tensores covariantes de rango dos tiene dimensión 9. Es la suma de tres espacios: los múltiplos de la identidad (un espacio de dimensión 1), el tensores antisimétricos (dimensión 3) y los tensores traza cero simétricos (dimensión 5). 1 + 3 + 5 = 9.
Para tensores de diferente rango y en diferentes dimensiones, obtienes diferentes tensores irreductibles.
Para obtener la intuición, es mejor familiarizarse con el teorema de Wigner-Eckart y los tensores esféricos que generalizan estas ideas.
Para la intuición, considere el tensor de inercia, que es simétrico y, por lo tanto, tiene seis componentes. El escalar $ | 0,0 \ rangle $ part (~ trace) es solo la masa del objeto: claramente invariante en rotación y, por lo tanto, físicamente significativo. Eso nos deja con las cinco partes $ | 2, m \ rangle $. Si rotas a los ejes principales, $ | 2, \ pm 1 \ rangle $ son cero y te quedan $ m = 0 $ y $ | m | = 2 $. El último es distinto de cero si el objeto no es cilíndrico simétrico, y el primero le dice si el objeto es achatado / alargado, y cero para una esfera. Entonces: cada componente irreducible es directamente interpretable como una propiedad geométrica útil (a diferencia de, digamos, la diádica $ \ bf \ hat x \ hat y $).
Por el contrario, considere un tensor antisimétrico de rango 2 como $ \ vec r \ vec p - \ vec p \ vec r $, que tiene 3 componentes distintos de cero. Eso parece un vector (bajo rotaciones) y ese vector es el momento angular; por lo tanto, ha aislado una cantidad geométrica significativa al considerar la parte irreducible del tensor de 9 componentes.
Tenga en cuenta que el orden superior Los tensores tienen simetrías más complicadas, todas relacionadas con el subespacio invariante en rotación. Un tensor de rango 3 tiene lo siguiente:
Simétrico de 10 dimensiones:
$$ S = \ frac 1 6 [T_ {ijk} + T_ {ikj} + T_ {jik} + T_ {jki} + T_ {kij} + T_ {kji}] $$
Esto se puede reducir aún más tomando la traza (vector), que se transforma como un vector:
$$ \ nu ^ {(0)} = S_ {iij} = S_ {iji} = S_ {jig} $$
y restando eso de $ S $ para formar un natural de 7 dimensiones (por ejemplo, trazar -free) tensor simétrico de rango 3 que se transforma como los siete $ Y_3 ^ m (\ theta, \ phi) $:
$$ T ^ {(3)} = S_ {ijk} - \ frac 3 5 \ delta_ {ij} \ nu ^ {(0)} _ k $$
Una pieza antisimétrica unidimensional (proporcional a $ \ epsilon_ {ijk} $):
$ $ A = \ frac 1 6 [T_ {ijk} -T_ {ikj} -T_ {jik} + T_ {jki} + T_ {kij} -T_ {kji}] $$
Los restos 16 El grado de libertad se divide entre dos subespacios de 8 dimensiones con simetría mixta:
$$ M ^ 1 = \ frac 1 3 [T_ {ijk} + T_ {jik} -T_ {kji} -T_ {kij}] $$
$$ M ^ 2 = \ frac 1 3 [T_ {ijk} + T_ {kji} -T_ {jik} -T_ {jki}] $$
Cada uno de estos también puede tener un traza vectorial restada (cada una de las cuales se transforma como un vector), creando dos subespacios tridimensionales:
$$ \ nu_i ^ {(\ lambda)} = M ^ {\ lambda} _ {ijj} $$
que se puede restar de $ M $ para dar dos tensores de rango 2 de forma natural de 5 dimensiones (sin trazas) que se transforman como los cinco $ Y_3 ^ m (\ theta, \ phi) $
$$ M ^ {\ lambda} _ {ijk} - \ frac 3 2 \ delta_ {ij} \ nu ^ {(\ lambda)} $$
Los tensores de rango 4 son más complicado. En resumen, los 81 grados de libertad se dividen en subespacios invariantes de la siguiente manera:
$$ {\ bf 3} \ otimes {\ bf 3} \ otimes {\ bf 3} \ otimes {\ bf 3 } = {\ bf 15} \ oplus 3 \ cdot {\ bf 15} \ oplus 2 \ cdot {\ bf 6} +3 \ cdot {\ bf 3} $$
donde el número en negrita se refiere a la dimensión del subespacio y la fuente regular es su multiplicidad. Una sustracción adecuada de trazas conduce a una división adicional en subespacios que se transforman como tensores de rango $ N $ de forma natural (sin trazas) con multiplicidad $ 2N + 1 $:
$$ {\ bf 3} \ otimes {\ bf 3} \ otimes {\ bf 3} \ otimes {\ bf 3} = {\ bf 9 + 5 + 1} \ oplus 3 \ cdot {\ bf 7 + 5 + 3} \ oplus 2 \ cdot { \ bf 5 + 1} +3 \ cdot {\ bf 3} $$
Tenga en cuenta que no existe una combinación antisimétrica (escalar). Por ejemplo, las combinaciones simétricas son:
$$ S = \ frac 1 {24} [T_ {ijkl} + T_ {ijlk} + T_ {ikjl} + T_ {iklj} + T_ {iljk} + T_ {ilkj} + T_ {jikl} + T_ {jilk} + T_ {jkil} + T_ {jkli} + T_ {jlik} + T_ {jlki} + T_ {kijl} + T_ {kilj} + T_ {kjil} + T_ {kjli} + T_ {klij} + T_ {klji} + T_ {lijk} + T_ {likj} + T_ {ljik} + T_ {ljki} + T_ {lkij} + T_ {lkji}] $$
El subespacio escalar es:
$$ \ omega = S_ {iijj} $$
El subespacio tensorial de rango 2 sin trazas es:
$$ S ^ {(2)} = S_ {ijkk} - \ frac 1 3 \ omega \ delta {ij} $$
Al restar esto se obtiene la forma natural del tensor de rango 4:
$$ \ Phi_ {ijkl} = S_ {ijkl} - \ frac 6 7 \ delta_ {ij} S ^ {(2)} _ {kl} - \ frac 1 5 \ omega \ delta_ {ij} \ delta_ {kl} $$.
Después de eso, se vuelve tedioso .