Dos partículas que forman un doblete $ SU (2) $ significa que se transforman entre sí bajo una transformación $ SU (2) $. Por ejemplo, un protón y un neutrón (que forman un doblete) se transforman como, \ begin {ecuación} \ left (\ begin {array} {c} p \\ n \ end {array} \ right) \ xrightarrow {SU (2 )} \ exp \ left (- \ frac {i} {2} \ theta_a \ sigma_a \ right) \ left (\ begin {array} {c} p \\ n \ end {array} \ right) \ end {ecuación } donde $ \ sigma _a $ son las matrices de Pauli. Resulta que el mundo real obedece a ciertas propiedades de simetría. Por ejemplo, las ecuaciones que describen las interacciones fuertes de protones y neutrones son aproximadamente invariantes bajo transformaciones unitarias con determinante 1 (la transformación que se muestra arriba) entre el protón y el neutrón. Este no tenía por qué ser el caso, pero resulta que lo es. Dado que la interacción fuerte es invariante bajo tales transformaciones, cada término de interacción en la interacción fuerte lagrangiana está muy restringido. Por un lado, esto es útil ya que permite hacer predicciones simples sobre los sistemas de protones y neutrones.

Para comprender mejor esta transformación y por qué se mantiene la simetría. Considere el QCD Lagrangiano para los quarks up y down (que, al igual que para el protón y el neutrón, también forman un doblete isospin): \ begin {ecuación} {\ cal L} _ {QCD} = \ bar {\ psi} _ {u, i} i \ left (\ left (\ gamma ^ \ mu D _ \ mu \ right) _ {ij} - m _u \ delta _ {ij} \ right) \ psi _ {u, j} + \ barra {\ psi} _ {d, i} \ left (\ left (\ gamma ^ \ mu D _ \ mu \ right) _ {ij} - m _d \ delta _ {ij} \ right) \ psi _ {d , j}% \\% & \ bar {\ psi} _ {i} i \ left (\ left (\ gamma ^ \ mu D _ \ mu \ right) _ {ij} - M \ delta _ {ij} \ derecha) \ psi _ {j} \ end {ecuación} donde $ D ^ \ mu $ es la derivada covariante y la suma sobre $ i, j $ es una suma sobre el color. Observe que si $ m _ {u} \ approx m _d \ equiv m $ podemos escribir este lagrangiano en una forma más conveniente, \ begin {ecuación} {\ cal L} _ {QCD} = \ bar {\ psi} _ {i} i \ left (\ left (\ gamma ^ \ mu D _ \ mu \ right) _ {ij} - m \ delta _ {ij } \ right) \ psi _ {j} \ end {ecuación} donde $ \ psi \ equiv \ left (\ psi _u \, \ psi _d \ right) ^ T $. Este lagrangiano ahora es invariante sobre las transformaciones entre quarks arriba y abajo ("isospin") ya que los generadores de color se conmutan con los generadores de isospin. Dado que el protón y el neutrón solo difieren en su proporción de quarks ascendentes y descendentes (la afirmación más precisa es que sus números cuánticos corresponden a los de $ uud $ y $ udd $ respectivamente), esperaríamos que estas partículas se comporten de manera muy similar cuando QED puede descuidarse (que suele ser el caso porque QED es mucho más débil que QCD a bajas energías).

Como ejemplo explícito del uso de la simetría, considere las reacciones: \ begin {align} & 1) \ quad pp \ rightarrow d \ pi ^ + \\ & 2) \ quad pn \ rightarrow d \ pi ^ 0 \ end {align} donde $ d $ es deuterio, un singlete isospin y los piones forman un triplete isospin. Para la primera interacción, el estado de isospin inicial es $ \ left | 1/2, 1/2 \ right \ rangle \ otimes \ left | 1/2, 1/2 \ right \ rangle = \ left | 1, 1 \ right \ rangle $. Los productos tienen isospin $ \ left | 0,0 \ right \ rangle \ otimes \ left | 1,1 \ right \ rangle = \ left | 1,1 \ right \ rangle $. La segunda interacción tiene un estado de isospin inicial, $ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ left | 0,0 \ right \ rangle + \ left | 1,0 \ right \ rangle \ right) $ , e isospin final, $ \ left | 0,0 \ right \ rangle $.

Dado que ambos casos tienen cierta superposición entre las funciones de onda de isospin, ambos pueden continuar. Sin embargo, el segundo proceso tiene un factor de supresión de $ 1 / \ sqrt {2} $ cuando se contraen las funciones de onda isospin. Para obtener las probabilidades, será necesario elevarlo al cuadrado. Por lo tanto, se puede concluir, \ begin {ecuación} \ frac {\ mbox {Tasa de 1}} {\ mbox {Tasa de 2}} \ approx 2 \ end {ecuación}

Tenga en cuenta que incluso sin saber nada sobre los detalles del sistema, pudimos hacer una predicción muy poderosa. Todo lo que necesitábamos saber es que el proceso ocurre a través de QCD.

No sé qué antecedentes aportas a la pregunta. Así que a riesgo de parecer condescendiente, permítanme dar una respuesta realista. Me pregunto si esto ayuda.

Piense en las rotaciones en el plano bidimensional (Real) $ \ mathbb {R} ^ 2 $. Puede rotar el eje X hacia el eje Y y el eje Y hacia el eje X negativo. Este grupo de rotaciones 2d se llama $ SO (2) $. Tenga en cuenta que aquí, cada eje consta del conjunto de números reales. Si, en cambio, cada eje correspondiera al conjunto de números complejos, entonces tendríamos el plano complejo 2d $ \ mathbb {C} ^ 2 $. Las rotaciones en este plano corresponderían al grupo $ SU (2) $ y puedes pensar en los protones y neutrones (más bien, sus funciones de onda) como los elementos básicos que forman los dos ejes en este espacio $ \ mathbb {C} ^ 2 $. El "doblete" se refiere a tener dos ejes.

Este $ \ mathbb {C} ^ 2 $ no se refiere a las dimensiones físicas reales, sino solo a algunas propiedades de los protones y neutrones .

No puedo explicar el "significado" de esto, aparte del hecho de que así es como se comporta la naturaleza. Una consecuencia es el hecho de que el protón y el neutrón tienen masas aproximadamente iguales, porque además de ser ejes diferentes que corresponden a esta propiedad, se supone que son bastante similares de lo contrario.

Por lo general, cuando escribe la función de onda (de una partícula), te concentras en su perfil espacial (en la introducción a la mecánica cuántica) y descuidas otras propiedades que la caracterizan. De manera similar, cada partícula también lleva una función de onda correspondiente a todas las demás características y la descripción completa implica escribir todas las funciones de onda (podría "multiplicar" las funciones de onda correspondientes a todas las diferentes propiedades, por lo que vale). Al igual que puede haber visto operadores actuando en la parte espacial de una función de onda, también tendrá operadores actuando en la función de onda correspondiente a cada propiedad.