39 dígitos de pi son suficientes para calcular la circunferencia del universo visible con un margen de error igual al ancho de un protón (cálculo no verificado, según http://www.guardian.co.uk/science/ blog / 2011 / mar / 14 / pi-day CordwainerBird).

Pi está muy lejos de ser el único número que necesitamos en física. Las predicciones teóricas típicas dependen de muchos otros números medidos y calculados (o ambos) además de pi.

No obstante, es cierto que es necesario sustituir el valor correcto de pi para obtener las predicciones correctas. Por lo tanto, la respuesta correcta a su pregunta es la predicción teórica verificada experimentalmente con mayor precisión que tenemos en física a día de hoy, a saber, el momento dipolar magnético anómalo del electrón

http: // en.wikipedia.org/wiki/Anomalous_magnetic_dipole_moment

En algunas unidades naturales, el momento magnético del electrón se expresa como un factor g que es algo mayor que dos. Experimentalmente, $$ \ frac g2 = 1.00115965218111 \ pm 0.00000000000074 $$ Teóricamente, $ g / 2 $ puede escribirse como $$ \ frac g2 = 1+ \ frac {\ alpha} {2 \ pi} + \ dots $$ donde Schwinger obtuvo el primer término de sublíder $ \ alpha / 2 \ pi $ en 1948 y hoy en día se conocen muchos otros términos más pequeños. La predicción teórica concuerda con la medición experimental dentro del pequeño margen de error; la incertidumbre teórica contiene el efecto de nuevas especies de partículas virtuales con las masas y acoplamientos aún no descartados. Esto requiere, entre muchas y muchas otras cosas, sustituir el valor correcto de $ \ pi $ en la corrección inicial de Schwinger $ \ alpha / 2 \ pi $. Necesita saber 9-10 puntos decimales de $ \ pi $ para hacer esta corrección dentro del error experimental.

Entonces, en la práctica, $ \ pi \ approx 3.141592654 $ estaría bien en todas partes en la parte de Física comprobable. Sin embargo, los físicos teóricos, por supuesto, a menudo necesitan hacer cálculos con mayor precisión, si no analíticamente, para descubrir qué está sucediendo realmente con las fórmulas.

16 dígitos, para convertir frecuencias de Hz a frecuencia angular. Las frecuencias ahora se pueden medir con una precisión cercana a 1 parte en 10 ^ 16, por lo que tratar con esos números requeriría conocer Pi a 16 dígitos aproximadamente.

¿Es esto realmente "qué experimento de física NECESITA conocer Pi con la mayor precisión "? Un purista (o teórico) podría no estar de acuerdo en que este ejemplo no cuenta, y yo estaría de acuerdo en que no hay nada fundamental aquí, solo la conversión de una convención a otra. Pero desde un punto de vista práctico, es algo que la gente hace en física y requiere conocer Pi a 16 dígitos.

En principio, nunca alcanzará la precisión del valor numérico de $ \ pi $ en un experimento, es mucho más importante como herramienta analítica . Luboš dio la parte de la pregunta relativa al experimento más preciso.

Entonces, solo para dar una pequeña cosa sobre la importancia de $ \ pi $ como el área de un círculo unitario y también la relación entre la circunferencia de un círculo y el diámetro,

(del artículo wiki correspondiente)

Un ejemplo muy famoso son las transformadas de Fourier en las que se solicita una función periódica para ser representado por $ \ sin $ y $ \ cos $ -terms, $$ \ mathcal {F} (f) (\ xi) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) e ^ { 2 \ pi \ mathrm {i} \ xi x} dx \ \ mathrm {con} \ e ^ {\ mathrm {i} \ varphi} = \ cos (\ varphi) + \ mathrm {i} \ sin (\ varphi) \. $$ Esto está vinculado a $ \ pi $ debido a la periodicidad del círculo, $$ r_1 (\ varphi) = r_2 (\ varphi + 2 \ pi) \ \ mathrm {with} \ r_i \ in \ mathrm { circle} \. $$

Hay muchas más cosas para agregar ya que el grupo de rotaciones subyacente es $ U (1) $ que está en Gire el grupo de indicadores para electrodinámica (cuántica) y explique por qué es casi seguro que encontrará los ejemplos más destacados de resultados vinculados al valor de $ \ pi $ en este campo.