Sí, la partícula continuaría acelerándose y nunca alcanzaría una velocidad terminal. Pero eso no es lo que te dice esta ecuación. Esta ecuación te dice cuál es la velocidad terminal, dados los parámetros de la función. Cuando está en el vacío, no hay velocidad terminal. No es cero, no es infinito. Una velocidad terminal literalmente no existe y eso es exactamente lo que le dice la ecuación.

Al igual que en matemáticas, obtienes el significado físico a través del límite: no está "indefinido", "va al infinito" cuando $ \ rho $ va a 0 desde arriba. (que es la única forma en el mundo físico, por eso está bien definido allí).

El problema aquí es que la existencia de una velocidad terminal depende de la suposición de que la partícula se mueve a través de un fluido. Como los fluidos reales solo tienen densidades positivas distintas de cero, simplemente conectar 0 rompe este supuesto.

Se podría decir que el clásico límite de la velocidad terminal cuando el fluido se acerca al vacío (es decir, cuando la densidad se acerca a 0) es infinito, pero esto El límite no es un número real, por lo que la partícula en el vacío no tiene velocidad terminal. (Como se señaló en los comentarios, si tomamos en cuenta la relatividad, este límite se convierte en c , la velocidad de la luz en el vacío. La incorporación de la relatividad en la fórmula lo haría innecesariamente complicado para fines prácticos).

Obviamente, este es uno de los muchos ejemplos de lo que puede suceder en los problemas de física, pero ¿qué significa en realidad undefined en términos de física? Espero estar explicándome claramente.

Las fórmulas matemáticas utilizadas para modelar observables físicos son válidas en marcos específicos, donde se han ajustado observaciones y predicen nuevas observaciones con éxito. Un indefinido o un infinito significa que el modelo matemático falla y se debe encontrar un nuevo modelo / teoría de la física. En su ejemplo, el modelo falla para la densidad 0 y se necesita una nueva fórmula para el vacío, o el objetivo (velocidad terminal) no tiene sentido en el vacío.

Examinar si existe una velocidad terminal en el vacío conduce a la teoría de la relatividad especial. Una partícula en el vacío nunca puede alcanzar la velocidad de la luz, y es un modelo completamente nuevo de comportamiento de partículas que ha sido validado innumerables veces.

Las partículas elementales son partículas puntuales, el infinito de la 1 / r eléctrica El potencial en r = 0 clásicamente se desactiva por el desarrollo de la mecánica cuántica, un marco completamente nuevo que subyace a toda la naturaleza.

Así que las matemáticas indefinidas apuntan a la necesidad de nuevas teorías / modelos.

Su pregunta es muy clara, es un buen ejemplo y llega al corazón de la física: poder definir, predecir el mundo utilizando modelos matemáticos. Pero debes asegurarte de que tus modelos sean correctos y completos.

Fabrice y Robert tienen razón: la velocidad llegará al infinito sin restricciones. Y existe la pista de lo que está sucediendo como una interpretación de la física: restricciones . La ecuación que cita es la solución de estado estacionario: la velocidad de una masa pequeña que acelera hacia un cuerpo más grande con aceleración gravitacional g, con un área proyectada, $ A $, y en una atmósfera con densidad $ \ rho $.

Elimina la atmósfera y, como dices, ya no hay una fuerza de arrastre, por lo que el modelo dinámico inicial del que derivaste esta fórmula de estado estable es diferente . Pero cuando dejas que $ \ rho $ vaya a cero, (casi) te da la respuesta correcta. Digo casi porque la ecuación que cita no está completa sin una ecuación adicional: una que restrinja la trayectoria de los cuerpos atrayentes hasta el punto en que chocan, un límite estricto. Las cosas no pueden caer para siempre, eventualmente caen al suelo. Esa es la física real y completa del asunto.

Una advertencia: "Las cosas no pueden caer para siempre", esto podría no ser cierto para un agujero negro. El tiempo y el espacio están tan deformados que el objeto puede tardar "una eternidad" en alcanzar la singularidad según los relojes fuera del agujero negro. Pero esta física requiere matemáticas adicionales para modelar el comportamiento.

Básicamente significa "la pregunta no tiene sentido, así que no preguntes".

Por ejemplo, en este caso particular, estamos tratando de encontrar la velocidad terminal. La velocidad terminal es la velocidad a la que la aceleración debida a la gravedad y la resistencia del viento se cancelan entre sí. Si no hay una atmósfera que proporcione resistencia al viento, entonces, por definición, tal velocidad nunca puede existir, por lo que no hay forma de definir cuál sería la velocidad terminal en tal situación.

La ecuación que proporcionó es una aproximación para una situación en la que $ \ rho $ es distinto de cero y la gravedad es constante , y representa el límite de velocidad que sería abordado por un objeto (nota: este valor nunca se alcanzaría, solo se acercaría).

También se puede calcular el tiempo que se tarda en llegar allí (nuevamente bajo el supuesto de densidad y gravedad constantes). Las ecuaciones tienen un "tiempo característico" $ \ tau = \ frac {v_t} {g} $ en ellas; en otras palabras, el concepto de "velocidad terminal" ni siquiera comienza a tener significado hasta un tiempo igual a varios $ \ tau $ ha pasado.

Algunas cosas a tener en cuenta entonces:

• la gravedad no es constante: y si calcula la velocidad alcanzada por un objeto en caída libre desde el "infinito", y suponiendo que toda la fricción debida al arrastre atmosférico sea cero, el objeto alcanzará una velocidad de solo unos 11 km / s; esa es toda la energía potencial convertida en cinética.

• Con arrastre presente, un objeto tendrá que caer durante un período de tiempo igual a varios $ \ tau $ para acercarse incluso a la velocidad terminal (para que la aceleración disminuya).

• a velocidades extremas, los efectos relativistas comenzarían a desempeñar un papel

Ninguna de estas cosas se considera en su tratamiento simple de la ecuación de velocidad terminal .

Cuando una ecuación física nos da lo que parece ser una respuesta sin sentido r, por lo general significa que nuestra comprensión (o descripción de) la física descrita por la ecuación es incompleta. Un ejemplo famoso de esto fue la catástrofe ultravioleta, cuya resolución fue un factor importante en la formulación de la mecánica cuántica.