El problema radica en las condiciones de contorno. Ignorando los factores de $ G $ y $ \ pi $ , la ley de gravitación de Gauss relaciona el potencial gravitacional $ \ Phi $ a la densidad de masa $ \ rho $ por $$ \ rho = - \ nabla ^ 2 \ Phi. $$ Para tener una solución única y bien definida, necesitamos especificar las condiciones de límite para $ \ Phi $ . Por lo general, asumimos que $ \ rho $ desaparece lo suficientemente rápido en el infinito espacial que una elección razonable de condición de límite es $ \ Phi (| \ vec x | \ to \ infty) = 0 $ es. El teorema de la cáscara se basa en esta suposición. Sin embargo, en su ejemplo, $ \ rho $ no muere en el infinito y, en cambio, es distinto de cero en todas partes y, por lo tanto, el teorema de shell falla.

A menudo, cuando un escenario dado en física no satisface, pero casi, la parte 'si' de un teorema, puede ser útil intentar modificar el problema para que lo haga. Por lo tanto, podemos usar una función de ventana $ W_ \ epsilon (x-x_0) $ que desaparece rápidamente como $ x \ to \ infty $ pero $ \ lim _ {\ epsilon \ to0} W_ \ epsilon = 1 $ para regular la densidad de carga. [p.ej. tome $ W_ \ epsilon (x-x_0) = e ^ {- \ epsilon (\ vec x- \ vec x_0) ^ 2} $ .] Entonces podemos reemplazar su densidad de carga uniforme $ \ rho $ por $$ \ rho \ to \ rho _ {\ epsilon, x_0} \ equiv \ rho W_ \ epsilon (x-x_0). $$ En este caso, el teorema de la cáscara es válido. Sin embargo, el resultado que obtenemos no es independiente del regulador, es decir, si resolvemos $ \ Phi _ {\ epsilon, x_0} $ usando la distribución de carga $ \ rho _ {\ epsilon, x_0} $ y luego enviamos $ \ epsilon \ to0 $ , encontramos que nuestra respuesta todavía depende de la elección de $ x_0 $ . ¡Esta es la forma matemáticamente rigurosa de ver que realmente existe una ambigüedad al aplicar el teorema de la cáscara a tal situación!

Editar: Parece haber cierto debate en los comentarios sobre si el teorema de la cáscara debe demostrarse con fuerzas o con la ley de Gauss. En realidad, no importa, pero abordaré lo que sale mal si solo usa la fuerza. Esencialmente, las leyes de Newton solo están garantizadas para ser válidas si hay una cantidad finita de materia en el universo. Claramente, si hay una densidad de masa uniforme en todo el espacio, entonces hay una cantidad infinita de materia, por lo que falla el teorema de la capa. El requisito de que $ \ rho (| \ vec x | \ to \ infty) \ a 0 $ 'suficientemente rápido' desde arriba es más precisamente que $ \ int d ^ 3 x \ rho (x) < \ infty $ , que es solo la condición de que haya una cantidad finita de materia en el universo.

Actualizado 07.11

Podemos elegir el modelo para discutir el problema y, por lo tanto, elegiremos:

Modelo: Mecánica newtoniana / gravedad newtoniana, con el Universo lleno de materia uniformemente densa, interactuando solo gravitacionalmente (en cosmología esto se llama “materia polvorienta”), y en el momento inicial de nuestro viaje espacial toda esta materia está en reposo .

Por lo tanto, mi nave espacial debería comenzar a acelerar hacia ×. Al elegir la esfera lo suficientemente grande, debería poder hacer que se acelere arbitrariamente rápido, y al elegir la ubicación de × puedo hacer que acelere en cualquier dirección.

¡Por supuesto!

Por supuesto que esto no funciona, pero ¿por qué?

Funciona. Si asumimos que inicialmente la nave espacial estaba en reposo junto con todo el universo, alcanzará el punto x en el tiempo necesario para que la nave caiga en una masa puntual igual a la masa de la esfera rosa.

El problema es que en ese momento toda la esfera rosa también cae hacia ese mismo punto, al igual que todas las demás esferas de colores y también el resto del universo. Si nuestro astronauta verifica su distancia al punto × antes de que la nave espacial caiga en él, notará que esta distancia ha disminuido, pero al mismo tiempo si revisa su entorno, notará que la nave espacial está rodeada precisamente por las mismas partículas de materia que cuando el viaje comenzó, solo ellos estaban más cerca el uno del otro y de la nave espacial. Esta contracción de la distancia es simplemente una versión newtoniana del evento Big Crunch.

Si el universo está lleno de materia que interactúa solo gravitacionalmente y asumimos que la densidad de la materia se mantendrá uniforme en todo el universo, entonces la única conclusión sería que dicho universo no es estático. Tiene (la versión newtoniana de) Big Bang en su pasado o Big Crunch en su futuro (o en nuestro modelo, ya que elegimos el momento inicial como un punto de inflexión de expansión a contracción, tiene ambos).

Puede parecer que todo el Universo cayendo hacia nuestro punto elegido × es un absurdo, ya que hemos elegido este punto arbitrariamente. Pero en esta situación no hay ninguna paradoja, la aceleración de toda la materia hacia este punto se debe al hecho de que en nuestra configuración no hay un "espacio absoluto", ningún conjunto de fuera observadores inerciales estacionarios que podrían darnos aceleraciones absolutas , en cambio solo podemos elegir un punto de referencia × (o más bien especificar un observador ubicado en este punto y en reposo con respecto a la materia circundante) y calcular aceleraciones relativas hacia este punto.

Recuerde que el primer principio de la mecánica newtoniana establece que cada partícula continúa en su estado de reposo o movimiento uniforme en línea recta. línea a menos que sea actuado por alguna fuerza exterior . Para un sistema aislado, por ejemplo, una colección de objetos gravitantes de masa total finita, podríamos (al menos en principio) colocar a un observador en reposo tan lejos que podría considerarse un objeto inercial. Esto nos permitiría definir un marco de referencia con respecto al cual mediríamos las aceleraciones. Pero en nuestra cosmología newtoniana, la materia está llenando todo el Universo, no hay un observador en el que la gravedad no esté actuando, por lo que no hay un conjunto de marcos de referencia definidos por observadores "en el infinito", solo observadores dentro de las concentraciones de materia que se ven afectadas por la gravedad. efectivo.

Si bien no hay aceleraciones absolutas, las posiciones relativas ( $ \ mathbf {d} _ {AB} (t) = \ mathbf {x} _A (t) - \ mathbf {x} _B (t) $ entre objetos $ A $ y $ B $ comoving con la materia del universo) tienen un significado independiente de la elección del punto de referencia. Estas posiciones relativas, velocidades relativas ( $ \ dot {\ mathbf {d}} _ {AB} $ ), aceleraciones relativas, etc. constituyen el conjunto de cantidades definidas sin ambigüedades medible dentro de nuestro universo.

entonces mi intuición me dice que puedo elegir un universo suficientemente estático.

Esta intuición es incorrecta, si hay una fuerza gravitacional que aceleraría su nave espacial hacia ×, entonces también estaría actuando sobre una materia cercana (llámelas partículas de polvo o planetas o estrellas) produciendo la misma aceleración, por lo que todos el universo estaría cayendo hacia ×.

Nota sobre la cosmología newtoniana puede parecer que la teoría newtoniana de la gravitación no es adecuada para manejar distribuciones homogéneas espacialmente infinitas de materia. Pero se puede intentar separar la física de la situación de las deficiencias de un formalismo particular y posiblemente superarlas. Como motivación, podríamos señalar que en grandes distancias cosmológicas, nuestro universo con un alto grado de precisión podría considerarse espacialmente plano, y las velocidades de la mayoría de los objetos masivos entre sí y con el marco de CMB son muy pequeñas en comparación con la velocidad. de luz, lo que significa que la aproximación newtoniana puede ser apropiada. Si bien sabemos que la relatividad general proporciona una mejor descripción de la gravitación, la gravedad newtoniana es mucho más simple desde el punto de vista computacional y conceptual. Esto parece sugerir que vale la pena "arreglar" cualquier problema que uno encuentre al intentar formalizar soluciones cosmológicas de la gravedad newtoniana.

El enfoque más natural es “geometrizar” la gravedad newtoniana y en lugar de “fuerza” considérelo como parte de la geometría, conexión dinámica que representa la gravedad y la inercia. Esto se hace en el marco de la teoría de Newton-Cartan.

Como referencia más detallada, con énfasis en cosmología, consulte este artículo (se requiere conocimiento de la relatividad general):

• Rüede, C., & Straumann, N. (1996). Sobre la cosmología Newton-Cartan . arXiv: gr-qc / 9604054.

La teoría de Newton-Cartan subraya las similitudes conceptuales entre la gravedad newtoniana y la relatividad general, con el grupo de Galilei reemplazando al grupo de Lorentz de GR. El enfoque general no tiene coordenadas y está estrechamente relacionado con la maquinaria de la relatividad general, pero una elección específica de coordenadas locales de Galilei produciría las ecuaciones habituales para la aceleración ( $ \ mathop {\ mathrm {div}} \ mathbf {g} = - 4 \ pi \ rho $ ), con la aceleración gravitacional ahora como parte de la conexión newtoniana. Las soluciones cosmológicas homogéneas e isotrópicas son un simple avance de las cosmologías FLRW.

Si bien las ecuaciones son las mismas, es posible que ya respondamos algunas preguntas conceptuales.

1. Dado que la aceleración gravitacional es parte de la conexión, no hay razón para esperar que sea un objeto "absoluto", habría transformaciones de indicador que lo alterarían. Podemos tener varios gráficos en los que definimos la física con los mapas de transición definidos normalmente entre ellos.

2. Podemos tener una cosmología FRW cerrada , el "espacio" no tiene que ser un espacio euclidiano, podría ser un toro $ T_3 $ (las ecuaciones de campo requieren que localmente el espacio sea plano). Dado que el volumen espacial de un universo cerrado varía y tiende a cero a medida que el universo se acerca al Big Crunch, esto afirma que no solo la materia, sino que el espacio mismo colapsa durante el Big Crunch (para responder a uno de los comentarios).

3. Es bastante sencillo incluir la constante cosmológica / energía oscura, lo que hace que los modelos sean más realistas.

Nota sobre la respuesta del usuario105620: Si formulamos un procedimiento de regularización introduciendo una función de ventana $ W (\ epsilon, x_0) $ que haría que el potencial se comportara bien. Esto nos proporciona otra forma de "arreglar" los problemas de nuestro modelo cosmológico. La aceleración de nuestra nave espacial calculada con esta regularización depende de la elección de $ x_0 $ en el límite $ \ epsilon \ a 0 $ , que es la consecuencia de la misma libertad en la elección del punto de referencia ×. Pero él / ella simplemente no debería haberse detenido allí. Las divergencias que requieren el uso de reguladores y las ambigüedades que quedan después de la regularización son características bastante normales en el desarrollo de modelos físicos. El siguiente paso sería identificar las cantidades físicamente significativas y verificar que sean independientes de los artefactos del regulador. En nuestro caso, ni el potencial $ \ Phi $ ni la aceleración gravitacional $ \ mathbf {g} $ son directamente observables en este modelo. Las posiciones relativas, las velocidades relativas y las aceleraciones relativas son observables y se vuelven independientes del parámetro del regulador $ x_0 $ .

al elegir la ubicación de × puedo hacer que se acelere en cualquier dirección.

Esta libertad de elección es la clave del rompecabezas.Asumiré la gravedad newtoniana en un universo estático lleno de un polvo homogéneo.

Deja que el barco esté en el origen.El barco siente una fuerza proporcional a $ x $ hacia el centro de la esfera de radio $ x $ centradoen $ \ pmb {x} $ , pero también siente la fuerza exactamente opuesta hacia el centro de la esfera idéntica pero disjunta centrada en $ \ pmb {-x} $ , por lo que estas dos fuerzas se cancelan exactamente.En cada caso, solo estoy considerando la masa dentro de la bola e ignorando la masa fuera de ella, según el teorema de la cáscara.

La misma lógica se aplica a cualquier $ \ pmb {x} $ arbitrario.

De un vistazo rápido, parece que las respuestas existentes son excelentes, por lo que contribuiré con algo de literatura sobre física y filosofía. A mí también me preocupó este tema después de leer cierto artículo (Peacock 2001, por cierto), ¡hasta que descubrí que siglos de pensamiento me precedieron!

Aparentemente, su preocupación fue planteada por primera vez por el obispo Berkeley, en una conversación con el propio Newton. Mucho más tarde, Seeliger (década de 1890) agudizó y popularizó la crítica. Véase Norton (1999), "Los problemas cosmológicos de la teoría de la gravitación newtoniana" para la historia. Norton también analiza el tema análogo de la ley de fuerza eléctrica de Coulomb.

Sorprendentemente, la cosmología newtoniana solo se elaboró ​​ después del caso relativista general, por Milne y también McCrea. Aquí me refiero particularmente a la tasa de expansión, que por cierto se parece mucho a las ecuaciones relativistas de Friedmann. [Asumo un universo homogéneo e isotrópico. De lo contrario, consulte Buchert & Ehlers (1997)]. Pero nuevamente se planteó su objeción. Finalmente, a Heckmann & Schucking (1955) se le atribuye el mérito de hacer que la cosmología newtoniana vuelva a ser grandiosa rigurosa.

Norton fue otro que planteó de forma independiente las objeciones centenarias. Malament (1995) defendió describiendo 3 formulaciones de la gravedad newtoniana: la ley de fuerza $ 1 / r ^ 2 $ , la ecuación de Poisson y la teoría de Newton-Cartan. Norton (1995) estuvo de acuerdo, pero agregó que la aceleración se vuelve relativa. Tipler (1996a, 1996b) tiene buenos artículos de la misma época. Wallace (2017) parece interesante, como el título de la sección "2. No unicidad de las soluciones a la ecuación de Poisson".

Me gustaría abordar, de manera rigurosa, lo que está sucediendo matemáticamente que lleva a esta aparente contradicción. El teorema de la capa de Newton, como lo demostró Newton, es un enunciado sobre el campo gravitacional definido a través de la ley de Newton de la gravitación universal.

$$ \ mathbf {g} (\ vec {x}) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ 3} \ rho (\ vec x ') \ frac { (\ vec x '- \ vec x)} {| \ vec x' - \ vec x | ^ 3} d ^ 3x '. \ etiqueta {1} $$ Donde $ \ rho: \ mathbb {R} ^ 3 \ to \ mathbb {R} _ + $ es la función de densidad de masa, que consideraremos constante . Si esta fórmula es formalmente lo que uno quiere llamar gravedad newtoniana o no, aquí es donde debe estar nuestra contradicción. Por definición, la fórmula anterior implica que el $ i $ th componente $ \ mathbf {g} _i (\ vec x) $ del campo gravitacional es $$ \ mathbf {g} _i (\ vec x) = \ rho \ int _ {\ mathbb {R} ^ 3} \ frac {x_i'-x_i} {| \ vec x '- \ vec x | ^ 3} d ^ 3x', $$ y ahora nuestro integrando es simplemente una función de valor real, una situación con la que nos sentimos cómodos. Sin embargo, el problema fundamental con esta expresión es que, aunque parece que podemos llamarlo cero por simetría, el integrando no es integrable en el sentido de Lebesgue o Riemann impropio porque no es absolutamente integrable, es decir, $$ \ int _ {\ mathbb {R} ^ 3} \ frac {| x_i'-x_i |} {| \ vec x '- \ vec x | ^ 3} d ^ 3x '= \ infty $$ en el sentido de Legesgue. Aquí está el truco: debido a que nuestro integrando no es integrable, no podemos esperar teoremas que indiquen consistencia bajo cambio de coordenadas y pasen a integrales iteradas para aplicar . Pero este es precisamente nuestro problema: cada vez que aplica el teorema de la capa sobre una elección diferente de centro, está invocando un cambio en un conjunto particular de coordenadas esféricas y calculando la expresión resultante a través de una integral iterada (uno debe, como el teorema de la capa de Newton se aplica a una capa esférica "infinitesimalmente" delgada). Debido al problema técnico anterior, los valores obtenidos en cada caso no necesitan ser consistentes entre sí.

Como lo comentó el usuario105620, surgen diferentes tipos de problemas en la formulación de la gravedad newtoniana a través de un potencial, en el que $ \ mathbf {g} $ está determinado según las condiciones $ \ vec \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = \ rho $ , $ \ vec \ nabla \ times \ mathbf {g} = 0 $ , y una condición de límite en $ \ mathbf {g} $ . Si $ \ rho $ no decae lo suficientemente rápido (como en las hipótesis del resultado vinculado), esta formulación generalmente no está bien planteada, es decir, una $ \ mathbf {g} $ puede no existir (aunque, si existe, es probablemente único, dependiendo de la condición de límite).

Dejando a un lado la existencia, el teorema de la cáscara en este caso, probado por el teorema de la divergencia, depende de poder asumir la simetría esférica de $ \ mathbf {g} $ de el de $ \ rho $ . Uno puede mostrar fácilmente que esto funciona bien para el caso estándar de $ \ rho $ decayendo lo suficientemente rápido con la condición de límite $ \ mathbf {g} \ to 0 $ en infinito, pero no está claro en absoluto cómo prescribir una condición de límite físicamente razonable que asegure que se permita lo contrario. De hecho, para el caso de $ \ rho $ constante, $ \ mathbf {g} (\ vec x) = \ frac { \ rho} {3} (\ vec x - \ vec x_0) $ satisface las condiciones de PDE para cualquier $ \ vec x_0 $ , pero tales soluciones sí no difieren por una constante, por lo que la declaración de unicidad vinculada anterior implica que todos los tipos estándar de condiciones de contorno (Dirichlet, Neumann y mixtas) solo pueden seleccionar una de estas. Es decir, en la gravedad newtoniana potencial, las opciones estándar de condiciones de contorno no pueden permitirnos de forma genérica asumir una simetría esférica de $ \ mathbf {g} $ desde el de $ \ rho $ cuando $ \ rho $ no decae, y por lo tanto, el teorema de shell en general falla en este caso.

En última instancia, entonces, su contradicción se reduce a esto: considerando las dos teorías más básicas de la gravedad newtoniana que naturalmente incluyen el teorema de la cáscara, resulta que una teoría simplemente no tiene sentido matemático en la clase caso $ \ rho $ , mientras que el teorema de shell de la otra teoría se rompe necesariamente en el caso $ \ rho $ no decadente .