Yo también tuve el mismo problema. El truco es darse cuenta de que hay una diferencia importante entre las series de Taylor y las aproximaciones o polinomios de Taylor, cuyo comportamiento es descrito por las de Taylor. teorema . Sí, muy a menudo sospecho que un error común es que primero ves los polinomios y el teorema de Taylor, y luego obtienes la serie de Taylor y eso se convierte en el foco y de repente te olvidas del resto.
Pero aquí, lo que en realidad estamos haciendo cuando "truncamos" una serie de Taylor es volver a un polinomio de Taylor, ya que eso es lo que es una serie de Taylor truncada, o alternativamente , una serie de Taylor es la extensión natural de un orden infinito. En ese contexto, el teorema de Taylor te dice exactamente cómo se comporta o no como una aproximación y, sorpresa, no requiere nada sobre analiticidad en absoluto. La analiticidad solo entra en juego cuando se considera la serie completa : de hecho, lo que el teorema de Taylor te dice es que un polinomio finito de Taylor seguirá funcionando como una aproximación incluso para una función no analítica, siempre que te acerques adecuadamente al punto en el que estás tomando el polinomio y la función sea lo suficientemente diferenciable como para poder hacer el polinomio de el grado dado que es posible tomar.
Específicamente, el teorema de Taylor te dice que, analítico o no , si cortas la serie de Taylor para que el término más alto tenga grado $ N $ span>, para formar el polinomio de Taylor (o serie de Taylor truncada) $ T_N (a, x) $ , donde $ a $ es el punto de expansión, tienes
$$ f (x) = T_N (a, x) + o (| x - a | ^ N), \ \ \ \ \ x \ rightarrow a $$
donde la última parte define el comportamiento del término restante: esta es la "notación pequeña-o" y significa que el error palidece en comparación con el límite $ | x - a | ^ N $ .
Como ejemplo en física matemática elemental, considere el análisis del potencial "patológico" en la mecánica newtoniana dado por
$$ U (x): = \ begin {cases} e ^ {- \ frac {1} {x ^ 2}}, \ x \ ne 0 \\ 0 , \ \ mbox {de lo contrario} \ end {cases} $$
que es fluido en todas partes , pero no analítico cuando $ x = 0 $ . En particular, es tan malo que no solo no es analítico, la serie de Taylor existe e incluso converge ... ¡solo a la cosa incorrecta! :
$$ U (x) \ "=" \ 0 + 0x + 0x ^ 2 + 0x ^ 3 + 0x ^ 4 + \ cdots, \ \ \ \ \ mbox { cerca de $ x = 0 $} $$
... y sí, eso es literalmente 0 en cada término , por lo que la expresión de la derecha es igual a $ 0 $ !
(AÑADIR - ver comentarios: no ... no ESO 0! ... uh ... Ooops ... uhhh ...)
No obstante , aunque eso es técnicamente "incorrecto", los métodos de análisis habituales que tiene para este sistema aún le dirán lo "correcto", siempre que tenga cuidado : en particular, notamos que $ x = 0 $ parece una especie de "equilibrio" desde $ U '$ es cero allí, pero también notamos que se nos dice - ¡correctamente! - que no debemos aplicar la aproximación del oscilador armónico porque también tenemos que el coeficiente frente a $ x ^ 2 $ es 0 como bueno.
Estamos justificados en ambas conclusiones porque si bien esta serie de Taylor es "mala", el teorema de Taylor sigue estando A-OK para escribir la serie truncada, y por lo tanto Taylor polinomio ,
$$ U (x) \ approx 0 + 0x + 0x ^ 2, \ \ \ \ \ mbox {cerca de $ x = 0 $} $$
aunque "es igual a $ 0 $ ", porque este $ U (x) $ es " tan exquisitamente aproximado por la función constante $ U ^ {*} (x): = 0 $ "que es $ o (| x | ^ N) $ para cada pedido $ N > 0 $ y, por lo tanto, en particular, también $ N = 2 $ ! Por lo tanto, el análisis armónico y la conclusión del fallo del mismo están todavía 100% justificados.
ADD (IE + 1936.6817 Ms - 2018-05-16): Según un comentario agregado a continuación, hay una arruga adicional en esta historia que había estado pensando en mencionar pero no lo hizo, pero para la cual, a la luz de eso , Pensé que tal vez debería hacerlo ahora.
En realidad, hay dos tipos diferentes de formas en las que la serie de Taylor puede fallar cuando una función no es analítica en un punto y se toma en ese punto. Una de ellas es la forma en que mostré arriba: donde la serie de Taylor converge, pero converge a lo "incorrecto" en el sentido de que no es igual a la función en ningún intervalo no trivial alrededor de ese punto (usted podría ser capaz de igualarlo en algún extraño conjunto polvoriento / roto, pero no en ningún intervalo), es decir, sin intervalo $ [a - \ epsilon, a + \ epsilon ] $ con $ \ epsilon \ ne 0 $ . Este punto se denomina punto de Cauchy o punto C .
La otra forma es que la serie de Taylor tenga realmente un radio de convergencia 0, es decir, no converge en ningún intervalo no trivial de la misma forma con $ \ epsilon \ ne 0 $ . Este tipo de punto se denomina punto Pringsheim o punto P . Este caso no se demostró, pero incluso en tal caso, la serie de Taylor sigue siendo una serie asintótica en el sentido de que al menos intentará empezar a converger si está lo suficientemente cerca y, además, cuanto más cerca esté del punto de expansión $ a $ , más términos puede tomar antes de que deje de converger y comience a divergir nuevamente. Dado que en física, generalmente estamos interesados, y especialmente. para el oscilador armónico - en sólo unos pocos términos de orden inferior, el comportamiento final de la serie no es importante y todavía podemos tomarlo para obtener, digamos, la aproximación armónica cerca de un punto de equilibrio incluso si la función no es analítica allí - p.ej considere el potencial $ U_3 (x): = U (x) + \ frac {1} {2} kx ^ 2 $ con $ k > 0 $ , donde usamos el primer potencial que acabamos de dar. Esto tampoco es analítico en $ x = 0 $ , pero, no obstante, la aproximación armónica no solo funcionará, sino que funcionará de manera excelente y con la frecuencia $ \ omega: = \ sqrt {\ frac {k} {m}} $ como de costumbre.
Ver:
https://math.stackexchange.com/questions/620290/is-it-possible-for-a-function-to-be-smooth-everywhere-analytic-nowhere-yet-tay