La respuesta es no, porque aunque una "Teoría del Todo" significa un método computacional para describir cualquier situación, no le permite predecir el resultado final de la evolución un tiempo infinito en el futuro, pero solo para avanzar, prediciendo el resultado poco a poco a medida que avanza.

El teorema de Gödel es una afirmación de que es imposible predecir el comportamiento en el tiempo infinito de un programa de computadora.

Teorema: Dada cualquier forma precisa de producir enunciados sobre matemáticas, es decir, dado cualquier programa de computadora que escupe enunciados sobre matemáticas, este programa de computadora o produce falsedades o no produce todos los enunciados verdaderos.

Prueba: Dado el programa "TEOREMAS" que da como resultado teoremas (podría estar haciendo deducciones en Aritmética de Peano, por ejemplo), escriba el programa de computadora SPITE para hacer esto:

• SPITE imprime su propio codificar en una variable R
• SPITE ejecuta TEOREMAS y escanea la salida en busca del teorema "R d no se detiene "
• Si encuentra este teorema, se detiene.

Si lo piensa, en el momento en que los TEOREMAS dicen que" R no se detiene ", realmente está demostrando que "SPITE no se detiene", y luego SPITE se detiene, convirtiendo a THEOREMS en un mentiroso. Entonces, si "TEOREMAS" solo da como resultado teoremas verdaderos, SPITE no se detiene y TEOREMAS no lo prueba. No hay forma de evitarlo, y es realmente trivial.

La razón por la que tiene la reputación de ser complicado se debe a las siguientes propiedades de la literatura lógica:

• Los lógicos están estudiando sistemas formales, por lo que tienden a ser demasiado formales cuando escriben. Esto empantana la literatura lógica en una oscuridad innecesaria y frena el desarrollo de las matemáticas. Es muy poco lo que se puede hacer al respecto, excepto exhortarlos a que intenten aclarar su literatura, como se esfuerzan por hacer los físicos.
• Los lógicos tomaron la decisión en la década de 1950 de no permitir el lenguaje informático en la descripción de algoritmos dentro del campo de la lógica. Hicieron esto a propósito, para separar la disciplina naciente de la informática de la lógica, y mantener a las hordas sucias de programadores de computadoras fuera de la literatura lógica.

De todos modos, lo que presenté es el prueba completa del teorema de Gödel, utilizando una traducción moderna del método original de Gödel de 1931. Para una revisión rápida de otros resultados y para obtener más detalles, consulte esta respuesta de MathOverflow: https://mathoverflow.net/a/72151/36526.

Como puede ver, el teorema de Gödel es una limitación para comprender el comportamiento eventual de un programa de computadora, en el límite de un tiempo de ejecución infinito. Los físicos no esperan descubrir el comportamiento eventual de sistemas arbitrarios. Lo que quieren hacer es dar un programa de computadora que seguirá la evolución de cualquier sistema dado hasta un tiempo finito.

Un ToE es como el conjunto de instrucciones de la computadora del universo. No le dice cuál es el resultado, solo cuáles son las reglas. Un ToE sería inútil para predecir el futuro, o más bien, no es más útil para la predicción que la mecánica newtoniana, la estadística y alguna mecánica cuántica ocasional para el mundo cotidiano. Pero filosóficamente es extremadamente importante, porque cuando lo encuentra, ha entendido las reglas básicas y no hay más sorpresas debajo.

Incorporación de comentarios

Hubo comentarios que yo incorporará en esta respuesta. Parece que se supone que los comentarios solo son temporales, y creo que algunas de estas observaciones son útiles.

El programa de Hilbert fue un intento de establecer que la matemática teórica de conjuntos es consistente usando solo medios finitarios. Hay una interpretación del teorema de Gödel que dice así:

• Gödel demostró que ningún sistema puede probar su propia consistencia
• La teoría de conjuntos prueba la consistencia de la aritmética de Peano
• Por lo tanto, Gödel mata el programa de Hilbert de probar la consistencia de la teoría de conjuntos usando la aritmética.

Esta interpretación es falsa y no refleja el punto de vista de Hilbert, en mi opinión. Hilbert dejó abierta la definición de "finitario". Creo que esto se debió a que no estaba seguro exactamente de qué debería ser admitido como finitario, aunque creo que estaba bastante seguro de lo que no debería ser admitido como finitario:

1. Sin números reales, sin análisis, sin subconjuntos arbitrarios de $ \ Bbb Z $. Solo axiomas y enunciados expresables en el lenguaje de la aritmética de Peano.
2. Ninguna estructura que no puedas realizar explícita y constructivamente, como un número entero. Así que no hay ordinales incontables, por ejemplo.

A diferencia de sus seguidores, él no dijo que "finitario" significa "demostrable en aritmética de Peano" o "demostrable en aritmética recursiva primitiva ", porque no creo que él creyera que esto fuera lo suficientemente fuerte. Hilbert tenía experiencia con la inducción transfinita y su poder, y creo que él, a diferencia de otros que lo siguieron en su programa, estaba dispuesto a aceptar que la inducción transfinita demuestra más teoremas que la simple inducción de Peano ordinaria.

¿Qué no estaba dispuesto a aceptar axiomas basados ​​en una metafísica de la existencia establecida. Cosas como el axioma de Powerset y el axioma de elección. Estos dos axiomas producen sistemas que no solo violan la intuición, sino que además no se basan obviamente en la experiencia, por lo que los axiomas no pueden ser verificados por la intuición.

Los que siguieron a Hilbert interpretaron el finitario como "demostrable en Aritmética de Peano" o un fragmento más débil, como PRA. Dada esta interpretación, el teorema de Gödel mata el programa de Hilbert. Pero esta interpretación es una locura, dado lo que sabemos ahora.

Hilbert escribió un libro sobre los fundamentos de las matemáticas después del teorema de Gödel, y desearía que se tradujera al inglés, porque yo no leo alemán. Supongo que dice allí lo que voy a decir aquí.

Qué significa Finitary

La definición de finitario es completamente obvia hoy, después de 1936. Un enunciado finitario es un enunciado verdadero sobre objetos computables, cosas que se pueden representar en una computadora. Esto equivale a decir que un enunciado finitario es una proposición sobre números enteros que se pueden expresar (no necesariamente probar ) en el lenguaje de la aritmética de Peano.

Esto incluye números enteros, gráficos finitos, cadenas de texto, manipulaciones simbólicas, básicamente, cualquier cosa que maneje Mathematica, y también incluye ordinales. Puede representar los ordinales hasta $ \ epsilon_0 $, por ejemplo, usando una codificación de cadena de texto de su forma Cantor Normal.

Los ordinales que pueden ser representados completamente por una computadora están limitados por Church-Kleene ordinal, que llamaré $ \ Omega $. Este ordinal es relativamente pequeño en la teoría de conjuntos tradicional, porque es un ordinal contable, que es fácilmente superado por $ \ omega_1 $ (el primer ordinal incontable), $ \ omega_ \ Omega $ (el ordinal incontable de Church-Kleene-th), y el ordinal de un cardenal enorme. Pero es importante entender que todas las representaciones computacionales de ordinales son siempre menores que esto.

Entonces, cuando estás haciendo matemáticas finitarias, significa que estás hablando de objetos que puedes representar en una máquina, debería restringirse a ordinales menos que Church-Kleene. Lo siguiente argumenta que esto no es ninguna restricción, ya que el ordinal de Church-Kleene puede establecer la consistencia de cualquier sistema.

Religión ordinal

El teorema de Gödel se interpreta mejor de la siguiente manera: Dado cualquier sistema axiomático (consistente, consistente con omega), puede fortalecerlo agregando el axioma "consis (S)". Hay varias formas de fortalecer el sistema, y ​​algunas de ellas no están simplemente relacionadas con esta extensión, pero considere esta.

Dado cualquier sistema y un ordinal computable, puede iterar el proceso de fortalecimiento hasta el ordinal. Entonces hay un mapa de ordinales a fuerza de consistencia. Esto implica lo siguiente:

• Las teorías naturales están ordenadas linealmente por fuerza de consistencia.
• Las teorías naturales están bien fundadas (no existe una cadena descendente infinita de teorías $ A_k $ tales que $ A_k $ prueba la consistencia de $ A_ {k + 1} $ para todo k).
• Las teorías naturales se acercan al ordinal de Church Kleene en fuerza, pero nunca lo alcanzan.

Es natural suponer lo siguiente:

• Dada una secuencia de ordinales que se aproxima al ordinal de Church-Kleene, las teorías correspondientes a este ordinal probarán todos los teoremas de la aritmética, incluido el consistencia de teorías consistentes arbitrariamente fuertes.

Además, las pruebas de consistencia a menudo se llevan a cabo en lógica constructiva igual de bien, así que realmente:

• Cada teorema que puede probarse, en el límite del ordinal de Church-Kleene, obtiene una demostración constructiva.

Esto no es una contradicción con el teorema de Gödel, porque generar una secuencia ordinal que se aproxima a $ \ Omega $ cann No se puede hacer algorítmicamente, no se puede hacer en una computadora. Además, cualquier ubicación finita no está filosóficamente mucho más cerca de Church-Kleene que donde comenzó, porque siempre queda infinitamente más estructura sin describir.

Así que $ \ Omega $ lo sabe todo y lo prueba todo, pero usted nunca podré comprenderlo completamente. Solo puede acercarse mediante una serie de aproximaciones que nunca puede especificar con precisión y que siempre son de alguna manera infinitamente inadecuadas.

Puedes creer que esto no es cierto, que hay declaraciones que siguen siendo indecidibles sin importar lo cerca que te acerques a Church-Kleene, y no sé cómo convencerte de lo contrario, aparte de señalar conjeturas de larga data que podría haber sido absolutamente independiente, pero cayó en métodos suficientemente poderosos. Creer que un sistema formal suficientemente fuerte resuelve todas las cuestiones de aritmética es un artículo de fe, expresado explícitamente por Paul Cohen en Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo . Lo creo, pero no puedo probarlo.

Análisis ordinal

Entonces, dada cualquier teoría, como ZF, uno espera que haya un ordinal computable que pueda probar su consistencia. ¿Qué tan cerca hemos estado de hacer esto?

Sabemos cómo probar la consistencia de la Aritmética de Peano --- esto se puede hacer en PA, en PRA o en la Aritmética de Heyting (Aritmética de Peano constructiva), usando solo el axioma

• Cada cuenta regresiva de $ \ epsilon_0 $ termina.

Esto significa que el ordinal teórico de la demostración de la Aritmética de Peano es $ \ epsilon_0 $. Eso te dice que la aritmética de Peano es consistente, porque es manifiestamente obvio que $ \ epsilon_0 $ es un ordinal, por lo que todas sus cuentas regresivas terminan.

Hay teorías de conjuntos constructivos cuyo ordinal de la teoría de la prueba se comprende igualmente bien , consulte aquí: "Análisis ordinal: teorías con ordinales teóricos de prueba más grandes".

Para ir más allá se requiere un avance en nuestros sistemas de notación ordinal, pero no hay limitación de principio para establecer la consistencia de teorías de conjuntos tan fuertes como ZF mediante ordinales computables que pueden ser comprendidos.

Hacerlo completaría el programa de Hilbert --- eliminaría cualquier necesidad de una ontología de conjuntos infinitos al hacer matemáticas. Puede no creer en el conjunto de todos los números reales y aún aceptar la consistencia de ZF, o de los cardinales inaccesibles (usando un ordinal más grande), y así sucesivamente en la cadena de teorías.

Otras interpretaciones

No todo el mundo está de acuerdo con los sentimientos anteriores. Algunas personas ven las proposiciones indecidibles como las proporcionadas por el teorema de Gödel como que de alguna manera tienen un valor de verdad aleatorio, que no está determinado por nada en absoluto, por lo que son absolutamente indecidibles. Esto hace que las matemáticas sean fundamentalmente aleatorias en su base. Chaitin suele defender este punto de vista. Desde este punto de vista, la indecidibilidad es una limitación fundamental de lo que podemos saber sobre matemáticas y, por lo tanto, se parece a una mala interpretación popular del principio de incertidumbre de Heisenberg, que lo considera una limitación de lo que podemos saber sobre la posición y el momento simultáneos de una partícula. (como si fueran variables ocultas).

Creo que el teorema de Gödel no se parece en absoluto a esta mala interpretación del principio de incertidumbre de Heisenberg. La interpretación preferida del teorema de Gödel es que cada oración de la aritmética de Peano sigue siendo verdadera o falsa, no aleatoria, y debería poder demostrarse en una reflexión suficientemente fuerte de la aritmética de Peano. El teorema de Gödel no es un obstáculo para que eventualmente sepamos la respuesta a todas las preguntas de las matemáticas.

El programa de Hilbert está vivo y coleando, porque parece que los ordinales contables de menos de $ \ Omega $ resuelven todas las preguntas matemáticas. Esto significa que si alguna declaración no se puede resolver en ZFC, se puede resolver agregando una cadena adecuada de axiomas de la forma "ZFC es consistente", "ZFC + consis (ZFC) es consistente" y así sucesivamente, iterado transfinitamente hasta un ordinal computable contable, o de manera similar comenzando con PA, o PRA, o aritmética de Heyting (quizás iterando hacia arriba en la escalera de la teoría usando un tamaño de paso diferente, como agregar inducción transfinita al límite de todos los ordinales comprobablemente bien ordenados en la teoría).

El teorema de Gödel no establece indecidibilidad, solo indecidibilidad relativa a una axiomatización fija, y este procedimiento produce un nuevo axioma que debe agregarse para fortalecer el sistema. Este es un ingrediente esencial en el análisis ordinal, y el análisis ordinal es solo el programa de Hilbert como se lo llama hoy. Generalmente, todo el mundo se equivoca, excepto el puñado de personas que quedan en la escuela alemana de análisis ordinal. Pero esta es una de esas cosas que se pueden arreglar gritando lo suficientemente fuerte.

Torkel Franzén

Hay libros sobre el teorema de Gödel que tienen más matices, pero creo que aún lo entienden no del todo bien. Greg P ​​dice, con respecto a Torkel Franzén:

Pensé que el libro de Franzen evitaba todo el asunto de 'el teorema de Goedel fue la muerte del programa de Hilbert'. En todo caso no fue tan simplista y de leerlo solo diría que el programa se 'transformó' en el sentido de que la gente no se limitará a razonamientos finitarios. En cuanto a las cosas de las que estás hablando, el libro de John Stillwell "Roads to Infinity" es mejor. Pero el libro de Franzen es bueno para cuestiones como la pregunta de BCS (el teorema de Godel se parece al principio de incertidumbre).

Finitario significa computacional, y una prueba de consistencia solo necesita un ordinal de complejidad suficiente.

Greg P ​​respondió:

El problema es entonces qué es 'finitary'. Supongo que asumí que excluía cosas como la inducción transfinita. Pero parece que a eso lo llamas finitario. Entonces, ¿cuál es un ejemplo de razonamiento no finitario?

Cuando el ordinal no es computable, si es más grande que el ordinal de Church-Kleene, entonces es infinitario. Si usa el conjunto de todos los reales, o el conjunto de potencias de $ \ Bbb Z $ como un conjunto con elementos discretos, eso es infinitario. Los ordinales que se pueden representar en una computadora son finitarios, y este es el punto de vista que creo que Hilbert impulsa en el Grundlagen , pero no está traducido.

Creo que Game Of Life de Conway es un gran ejemplo aquí. Tenemos la "Teoría del todo" del Juego de la vida de Conway: las leyes que determinan el comportamiento de cada sistema. Son extremadamente simples, solo unas pocas oraciones. Estas simples "reglas del juego" son análogas a una "teoría de todo" que satisfaría a un físico que vive en el universo de Game Of Life.

Por otro lado, puedes construir una computadora Turing completa en El juego de la vida, lo que significa que puede formular preguntas sobre el juego de la vida que no tienen una respuesta matemáticamente demostrable. Las preguntas sonarían algo así:

Aquí hay una configuración complicada de billones de celdas. A partir de esta configuración, ejecute Game of Life durante un número infinito de pasos. ¿Se encenderá alguna vez la celda en tal o cual coordenada?

Estas dos cosas no están realmente relacionadas. Por supuesto que podemos entender la extremadamente simple "teoría de todo" del Juego de la vida. Al mismo tiempo, por supuesto, no podemos probar matemáticamente la respuesta a todas las preguntas como la anterior, sobre el comportamiento asintótico de configuraciones muy complicadas de puntos dentro del Juego de la vida.

Asimismo, podemos (uno esperanzas) encontrar la ToE para nuestro universo. Pero ciertamente no podremos probar matemáticamente todos los teoremas posibles sobre el comportamiento asintótico de las cosas que siguen las leyes del universo. Nadie esperaba hacer eso de todos modos.

La gente tiende a tomar el teorema de Gödel y doblarlo, estirarlo, tergiversarlo, aplicarlo incorrectamente y, en general, hacerle cosas que, si se las hicieras a una cucaracha en Texas, harían que te arrestaran por crueldad animal. Pero hay un libro, Franzén (2005), que debería ser suficiente para vacunar a cualquier adulto responsable contra ese comportamiento travieso. Algunos puntos hechos por Franzén:

1. El teorema de Gödel solo se aplica a sistemas axiomáticos formales.
2. El teorema de Gödel solo se aplica a sistemas que pueden describir "una cierta cantidad de aritmética" (que se define de una manera técnica específica).
3. El teorema de Gödel nos dice que cualquier teoría consistente tendrá ciertos enunciados indecidibles. Sin embargo, estas declaraciones no suelen tener ningún interés.
4. Además de la noción de coherencia, existe una de coherencia relativa .

Cualquiera de estos es suficiente para demostrar que el teorema de Gödel no tiene relevancia para la empresa de la física. Vamos a analizarlos uno por uno.

1. El teorema de Gödel solo se aplica a sistemas axiomáticos formales.

Casi ninguna teoría física útil del mundo real se ha expresado como sistemas axiomáticos formales (una excepción es Fleuriot, 2001). Nunca se ha utilizado tal formalización para hacer física de palabras reales (es decir, el tipo de cosas que podrían publicar en una revista). "Sistema axiomático formal" significa algo muy diferente para un lógico de lo que un físico podría imaginar. Significa reducir todos los enunciados posibles de la teoría a cadenas de caracteres, y todos los axiomas de la teoría a reglas para manipular estas cadenas, expresadas de manera tan explícita que una computadora podría verificarlas. Este tipo de formalización no es necesaria ni suficiente para que una teoría física sea válida, útil o interesante.

2. El teorema de Gödel solo se aplica a sistemas que pueden describir "una cierta cantidad de aritmética".

Esta es una limitación mayor de lo que imagina. En nuestra cultura científica actual, vamos a la escuela y aprendemos aritmética, luego geometría y el sistema de números reales. Esto nos hace imaginar que los números enteros son un sistema matemático simple y que los reales son uno más complicado construido sobre los números enteros. Esto no es más que un sesgo cultural. La teoría elemental de los números reales es equivalente a la teoría elemental de la geometría euclidiana. ("Elemental" tiene un significado técnico, siendo equivalente a la lógica de primer orden.) La geometría euclidiana elemental es incapaz de describir "una cierta cantidad de aritmética" como se define en el teorema de Gödel. Por tanto, el teorema de Gödel no se aplica a la teoría elemental de los números reales y, de hecho, se ha demostrado que esta teoría es coherente y completa (Tarski, 1951). Es muy posible que un ToE pueda expresarse en lenguaje geométrico, sin el uso de aritmética, o en el lenguaje del sistema de números reales. Por ejemplo, los Principia están redactados completamente en el lenguaje de los Elementos de Euclides, y tampoco es obvio para mí que exista alguna obstrucción para enunciar teorías como las ecuaciones de Maxwell o la relatividad general. en el lenguaje del sistema de números reales, usando lógica elemental.

3. El teorema de Gödel nos dice que cualquier teoría consistente tendrá ciertos enunciados indecidibles. Sin embargo, estas declaraciones no suelen tener ningún interés.

Creo que esto se explica por sí mismo. Y no creo que la decidibilidad sea una propiedad necesaria o incluso particularmente deseable para un ToE; Pocas teorías interesantes en matemáticas son decidibles y, sin embargo, la mayoría de los matemáticos pasan cero tiempo preocupándose por eso.

4. Además de la noción de coherencia, existe una de relativa coherencia.

Es posible demostrar que un sistema axiomático es igual a otro, lo que significa que uno es autoconsistente si y solo si el otro lo es. Si tuviéramos un ToE, y pudiéramos convertirlo en un sistema axiomático, y fuera el tipo de sistema axiomático al que se aplica el teorema de Gödel, entonces probablemente sería compatible con algún otro sistema bien conocido, como alguna formulación de análisis real. . Cualquier duda sobre la consistencia de los ToE equivaldría a dudar sobre la consistencia del análisis real, pero nadie cree que el análisis real carece de consistencia.

Finalmente, ¿por qué nos preocupamos por la "consistencia"? Estoy usando las citas de miedo porque estamos hablando de física. Cuando hablo con un matemático sobre la "autoconsistencia" de una teoría, la reacción habitual es una mirada en blanco o una corrección condescendiente. La consistencia " yo -" es el único tipo de consistencia que le importa a un matemático. Pero un físico se preocupa por más que eso. Nos preocupamos por si una teoría es coherente con el experimento . No hay una buena razón para preocuparse si no se puede demostrar que un ToE es autoconsistente, porque hay otras preocupaciones que son mucho mayores. El ToE podría ser autoconsistente, pero alguien podría hacer un experimento que demostraría que está mal.

J. Fleuriot, Una combinación de demostración de teoremas de geometría y análisis no estándar con aplicación a los Principia de Newton , 2001

T. Franzén, Teorema de Gödel: Una guía incompleta para su uso y abuso , 2005

A. Tarski, Un método de decisión para álgebra y geometría elementales , 2da rev. ed., 1951 [Reimpreso en sus Collected Papers , vol. 3.]

Si una "Teoría de todo" significa un método computacional para describir cualquier situación, y existen verdaderas fórmulas aritméticas (como ha demostrado Gödel) que no pueden ser probadas, existen verdaderas fórmulas aritméticas que son necesarias para describir alguna situación que no se puede descubrir computacionalmente, o si se descubre de manera incidental, no se puede probar que sea cierto. Entonces, por ejemplo, este método computacional para ser completo, necesitaría poder probar la validez de las matemáticas y la lógica, sin usar matemáticas y lógica, ya que las matemáticas y la lógica están separadas de la física.

La definición anterior que "El teorema de Gödel es una afirmación de que es imposible predecir el comportamiento en el tiempo infinito de un programa de computadora". es incorrecta y anacrónica (al principio Gödel rechazó la definición de "computabilidad" de Church-Turing, pero más tarde (es decir, en 1946) tuvo que descubrirla finalmente por su cuenta). Además, Gödel no era un informático, aunque su lógica les fuera útil en una fecha posterior. El problema descrito anteriormente es una aplicación específica del teorema de Gödel llamado 'Problema de detención', pero su teorema es mucho más amplio que eso y sus implicaciones son mucho mayores. Lo que el primer teorema de Gödel establece básicamente es que:

Cualquier sistema axiomático generado de manera efectiva $ S $ no puede ser consistente y completo. En particular, para cualquier sistema axiomático $ S $ generado de manera efectiva que sea consistente y que demuestre que ciertas conclusiones básicas son verdaderas, hay una conclusión verdadera básica que no se puede demostrar dentro de ese sistema $ S $.

Para cualquier sistema axiomático formal generado efectivamente $ S $, si $ S $ incluye una declaración de su propia consistencia, entonces S es inconsistente.

Una de las respuestas anteriores señaló que:

1. El teorema de Gödel solo se aplica a sistemas axiomáticos formales (lo cual es cierto)

Sin embargo, continuó sugiriendo que "Casi ninguna teoría física útil del mundo real ha sido declarada como sistemas axiomáticos formales". Esto es completamente falso dada la forma en que Gödel definió los sistemas axiomáticos formales. Por sistemas axiomáticos formales, Gödel quiso decir "computable", es decir, cualquier sistema capaz de derivar resultados (conclusiones) a través de funciones (o lógica) que sean computables algorítmicamente. La física se basa completamente en dos de estos sistemas: matemáticas y lógica, lo que significa que la física también lo es.

¿Se está sugiriendo realmente que la física no es computable? La física hace predicciones usando matemáticas y lógica, los cuales son sistemas axiomáticos formales. La física también describe su comportamiento observado utilizando los mismos sistemas. La física es nada menos que un sistema axiomático formal utilizado para describir la naturaleza, aunque presupone estos otros sistemas. Incluso si se observan o miden algunos de sus axiomas, deriva resultados de estos, o leyes sobre ellos a través de funciones que son computables ($ E = MC ^ 2, F = MA $), por lo tanto, Gödel se aplica absolutamente.

Esto significa que una Teoría del Todo y, de hecho, la física debe ser internamente consistente, pero incompleta, es decir, no ser capaz de describir todas las situaciones posibles, o debe ser completa pero inconsistente, es decir, capaz de describir todas las situaciones posibles, pero contener inconsistencias (auto- contradicciones). El hecho de que la física requiera que las matemáticas demuestren sus propias verdades muestra que la física es incompleta (ya que necesita presuponer la consistencia de las matemáticas como un sistema axiomático) al igual que las matemáticas requieren la lógica para probar sus teoremas (por la misma razón, las matemáticas no pueden probar la lógica, pero simplemente debe presuponerlo). Esta es una evidencia directa de la afirmación de Gödel de que ningún sistema axiomático puede probar su propia consistencia y, por lo tanto, es incompleto. Además, las personas también han demostrado que el teorema de la incompletitud incluso se cumple en la mecánica cuántica (que también es consistente, pero no completa).

Cualquier 'teoría del todo' no puede ser completa ya que no puede explicar matemáticas o lógica, y habrá fenómenos físicos cuyo comportamiento no se puede calcular. Al igual que la física en sí, la física de un TOE, además de la observación física, requiere matemáticas y lógica, lo que muestra cuán incompleta es la física en sí misma (aunque es consistente).

No estoy de acuerdo con su afirmación del teorema de Gödel. El teorema de incompletitud de Gödel dice que en cualquier lenguaje formal que sea lo suficientemente fuerte para hacer aritmética (es decir, puede escribir los axiomas de Peano) siempre habrá una declaración verdadera que no se puede probar. Lo que Gödel hizo para demostrar esto fue construir algo como la paradoja del mentiroso en cualquiera de esos lenguajes:

Esta oración no es demostrable.

No Creo que esto tiene algún efecto sobre si existe o no un ToE viable, pero no sé mucho sobre ToE.

Siento que el teorema de incompletitud de Gödel se malinterpreta mucho. No afirma si los enunciados son verdaderos o no, simplemente dice que no podemos probar todo lo que es cierto; algunas cosas simplemente son.

Una forma de ver esto es en términos del sexto problema de Hilbert, es decir, axiomatizar la física. Ahora bien, se puede decir que lo que Hilbert entendió de "axiomatizar" es refutado por los resultados de Gödel (y Gentzen). (Consulte su segundo problema).

tl; dr; Todos los universos posibles son finitos a escala y son "demasiado pequeños" para poder codificar todas las conjeturas posibles para que no puedan operar en ellos y, por lo tanto, no puedan probar su veracidad. Por lo tanto, un modelo de universo completamente computable no puede violar el teorema de Gödel.

Los extractos forman varios otros lugares en las respuestas:

Creo que la respuesta se convierte en una de dos cosas:

Opción A: el teorema de Gödel no impide la existencia de medios mecanicistas para determinar la veracidad de una conjetura arbitraria. (Si bien no estoy seguro de que Gödel excluya esto, está excluido reduciendo el problema de la detención.)

Opción B: ese teorema de Gödel implica que incluso dado un TOE válido y computable, no existe un mapeo entre las conjeturas aritméticas y los estados del universo de manera que alguna propiedad identificable se mantenga si las conjeturas son correctas. Esto podría ser (y sospecho que es) cierto simplemente porque el conjunto de todas las conjeturas posibles es mayor (un infinito de orden superior u ordinales más grandes) que el conjunto de todos los estados posibles de universos que pueden existir bajo el TOE.

En realidad, el teorema de la incompletitud es el camino hacia una teoría del todo.

El teorema dice aproximadamente que se necesita un supersistema para demostrar de manera consistente y completa los axiomas de un sistema.

Entonces, lo que debe hacer es envolver nuestras medidas en un sistema más grande. Actualmente modelamos nuestras medidas de frente.

Si pudiéramos modelarlas indirectamente, de modo que emerjan de la teoría en lugar de suponerse automáticamente, lograremos un gran avance.

El biocentrismo de Lanza promete eso.