Eso no se aplica a la órbita de la Tierra.Se puede pensar que la fuerza gravitacional es constante, ya que la distancia entre la Tierra y el Sol también se puede considerar constante

Tienes razón en que la fuerza o la magnitud del campo gravitacional del sol es muy similar a lo largo de la órbita de la Tierra, pero la dirección no lo es.En un campo gravitacional uniforme, la dirección sería la misma en todas partes.

Sobre la trayectoria de la órbita terrestre, el campo gravitacional del sol apunta en diferentes direcciones.Esta diferencia significativa de un campo uniforme significa que la órbita de la Tierra está bastante lejos de una parábola.

La fuerza gravitacional se puede considerar constante, ya que la distancia entre la Tierra y el Sol también se puede considerar constante, lo que según la segunda ley de Newton significa que la aceleración de la Tierra también es constante. ¿No significaría eso que la Tierra debería seguir un camino parabólico?

No, la fuerza gravitacional del Sol sobre la Tierra no es una constante, por dos razones:

• está cambiando de dirección todo el tiempo, es decir, siempre está hacia el Sol mientras la Tierra (en el marco de referencia del Sol) gira a su alrededor, y
• está cambiando de magnitud a medida que la Tierra se acerca y se aleja. Esto se debe a que la energía cinética de la Tierra debido a su movimiento orbital en el afelio no es lo suficientemente grande como para permitirle moverse en una órbita circular de ese radio. Y es demasiado grande en el perihelio para moverse en una órbita circular del radio del perihelio. (Y en todas partes entre el vector de velocidad no es perpendicular al vector radial entre la Tierra y el Sol).

Si la Tierra se moviera parabólicamente alrededor del Sol, no estaría en una órbita cerrada. Pasaría junto al Sol una vez y nunca volvería. Eso es porque para tener una órbita parabólica con gravedad newtoniana, $$ | \ vec {F} | = \ frac {Gm_Em_S} {r ^ 2}, $$ la energía cinética de la Tierra sería demasiado grande para permanecer en órbita .

¿Existe una prueba matemática (similar a la que mencioné sobre los proyectiles) que dé como resultado la órbita elíptica?

Sí, y se puede encontrar en varios lugares, generalmente en los libros de mecánica clásica (e incluso de ingeniería) de nivel universitario de segundo año. Vea libros de Symon, Marion, Beer & JOhnston, Barger & Olsson, Taylor, solo para sugerir algunos. Es una derivación estándar que involucra cálculo, y es demasiado larga para detallarla aquí.

Y, de hecho, un proyectil en la Tierra también sigue una trayectoria elíptica alrededor del centro (aproximadamente) de la Tierra.Aproximamos la gravedad newtoniana como una magnitud constante, una fuerza de dirección constante para áreas pequeñas (como campos de fútbol) y obtenemos la forma parabólica, que en realidad es una buena aproximación de una trayectoria elíptica corta.

Las trayectorias de los proyectiles no son en realidad parabólicas cerca de la tierra. Una parábola no implica una velocidad total constante. Una parábola es velocidad constante en una dirección y aceleración en una dirección perpendicular.

En la pequeña escala de la mayoría de los problemas balísticos, la Tierra es mucho más grande que la trayectoria del proyectil. En tal escala, la tierra se puede aproximar como un plano. Mientras que la gravedad tira de los proyectiles hacia el centro de la tierra y, por lo tanto, es una dirección que está cambiando para cualquier objeto en movimiento, esta dirección no cambia de hacia abajo, de nuevo en escalas tan pequeñas. La aceleración es hacia abajo, no hay aceleración transversal, por lo que el resultado, para una aproximación cercana, es parabólico. Si observara el camino de cerca y pudiera "caer" a través de la tierra, seguiría un camino elíptico.

La ecuación real es:

$$ \ frac {1} {r} = c_0 + c_1 \ sin {\ theta} + c_2 \ cos {\ theta} $$ donde $ r $ es la distancia desde el centro de la Tierra.

Las c son constantes que dependen de la masa de la tierra, el momento angular (una constante del movimiento) y la masa del proyectil.

$ r $ es la distancia del proyectil desde el centro de la tierra. Theta es el mismo theta de las coordenadas polares.

Deje: $ L = mr ^ 2 \ dot {\ theta} $ .

$ L $ es el momento angular del proyectil sobre la Tierra. $ \ dot {\ theta} $ es la velocidad angular a lo largo de la trayectoria.

El momento angular es constante en el tiempo. Tomar las derivadas de ambos lados te da alguna información de la evolución temporal del sistema.

Si configura la coordenada cero de su theta correctamente, puede asumir $ c_1 = 0 $ .

reorganizando:

$$ r = \ frac {1 / c_0} {1+ (c_2 / c_0) \ cos {\ theta}} $$

Se podría reconocer esto como una ecuación en coordenadas polares de una sección cónica con el origen del sistema de coordenadas en un foco.

Al hacer esto, $ c_2 / c_0 $ determina la excentricidad de su trayectoria.Este parámetro le indica la forma de la ruta de los proyectiles: Excentricidad orbital

Me enseñaron que cuando la aceleración que experimenta un cuerpo constante, ese cuerpo sigue una curva parabólica

Esa última parte está mal.

Bajo la fuerza central, el cuerpo seguirá una sección cónica de algún tipo.Una parábola es un tipo de sección cónica.Una elipse es otra.Un círculo es otro más.

Si sigue un círculo, una elipse o una parábola depende de las condiciones iniciales: la cantidad de fuerza y la velocidad angular.

Pero en general, el cuerpo no sigue una parábola, sino una cónica.

La aceleración gravitacional actúa hacia el centro de masa y sigue la ley del cuadrado inverso. Esto hará que todas las trayectorias verdaderas sean elípticas o hiperbólicas (dependiendo de la velocidad del objeto en relación con la velocidad de escape del cuerpo que actúa sobre él).

Cuando examinamos el movimiento de objetos cercanos a la superficie de la Tierra y viajando en distancias cortas, el centro de masa de la Tierra está muy lejos, por lo que la gravedad parece actuar de manera uniforme: los objetos que caen seguirán trayectorias paralelas y la aceleración no cambia con la altura . En estas condiciones, las trayectorias serán parabólicas. Pero estas son solo aproximaciones porque las distancias sobre las que se observa el movimiento son muy pequeñas en relación con la distancia al centro de masa de la Tierra. En otras palabras, la fórmula cuadrática y el movimiento parabólico se mantienen cuando se hacen suposiciones sobre la dirección y uniformidad del campo gravitacional, pero estas suposiciones solo son útiles a pequeña escala (en relación con la fuente / distancia gravitacional).

El movimiento de la Tierra alrededor del Sol también podría aproximarse como parabólico, pero la aproximación solo sería válida en distancias cortas. Si considera un cometa en una órbita altamente elíptica alrededor del Sol, el segmento de su trayectoria en o cerca de apoapsis podría aproximarse como parabólico, pero es solo una aproximación.

De manera similar, el movimiento de un proyectil "sobre el horizonte" no se puede aproximar simplemente como una trayectoria parabólica. Por ejemplo: los cañones de los acorazados evolucionaron hasta el punto en que podían disparar proyectiles decenas de millas. Dejando a un lado los efectos aerodinámicos / del viento, un arco parabólico no es una representación adecuada de la trayectoria del caparazón porque la curvatura de la superficie de la Tierra y la diferencia en la dirección "hacia abajo" se vuelve significativa sobre la distancia de viaje del caparazón.

Una perspectiva matemática / geométrica

Considere que la elipse, la parábola y la hipérbola son todas secciones cónicas que se distinguen entre sí por excentricidad (el círculo es un caso especial de una elipse con excentricidad decero).Las circunstancias de un problema de trayectoria determinado determinarán la excentricidad y, por tanto, la cónica adecuada.En el caso de la física "cotidiana", la distancia al baricentro de la Tierra se aproxima al infinito;esto establece la excentricidad en 1 y la trayectoria toma la forma de una parábola.Para el problema de "sobre el horizonte", la distancia al baricentro de la Tierra no se puede asumir como infinita, por lo que la trayectoria toma la forma de una elipse.

La Tierra no sigue una trayectoria parabólica porque no podríamos observarla si no lo hiciera.No existiríamos para observarlo.No pudimos observarlo porque otras trayectorias no permiten que la tierra permanezca lo suficiente en una distancia del sol que permite que la vida evolucione.

Esto está usando el principio antrópico, que se usa más comúnmente para explicar por qué las constantes físicas tienen valores que permiten que la vida evolucione.

Hay cierto nivel de absurdo en esta idea, pero creo que no es completamente absurdo.

Estoy tratando de llegar al quid de tu pregunta.Probablemente haya una forma matemática de pasar de la trayectoria de un proyectil parabólico a una órbita, ya sea básicamente circular o elíptica, pero no he oído hablar de ella.Dejando de lado la atmósfera, a medida que las velocidades de los proyectiles aumentan cada vez más, llegará a un punto en el que la curva que está tomando el proyectil sería prácticamente la misma que la curva de la Tierra, circular.Incluso con una trayectoria balística, creo que si la mayor parte de la Tierra no estuviera en su camino, tendría una trayectoria elíptica alrededor del centro de la Tierra.