Como han dicho otros, el principio de Fermat dice que la trayectoria que sigue la luz es estacionaria en lugar de una longitud mínima de trayectoria óptica (aunque de hecho suele ser una trayectoria local mínimo). El punto más importante, sin embargo, es que esta es una condición necesaria pero no suficiente para que una ruta determinada sea la seguida por la luz. Esta es una forma matemática de decir que puede haber varios caminos que sean extremos locales de la longitud del camino, pero la luz no necesita seguirlos todos.

Este es un problema típico con los argumentos variantes. Lo mismo puede suceder con una partícula masiva que tiene la opción de seguir cualquiera de dos caminos hasta un punto final. Feynman consideró tales escenarios al desarrollar su enfoque integral de trayectoria de la mecánica cuántica, pero incluso para la mecánica clásica es un caso de estudio interesante. Si resuelve la ecuación de Euler-Lagrange para dicho sistema, encontrará que hay dos caminos que hacen que la acción sea estacionaria, es decir, dos caminos que la partícula puede seguir para llegar desde su punto de partida hasta su punto final. Pero sabemos que una partícula clásica solo seguirá un camino, entonces, ¿cuál tomará?

Matemáticamente, el problema aquí es que los problemas de variación se plantean típicamente como problemas de valor límite⁠: especificamos dónde debe comenzar la partícula y dónde debe terminar. A diferencia de los problemas de valor inicial, los problemas de valor límite no necesitan tener soluciones únicas. Pero en la vida real, en realidad no controlamos dónde termina la partícula. Lo que realmente controlamos es la posición inicial y la velocidad de la partícula⁠, es decir. establecemos un problema de valor inicial, una ecuación diferencial para la que existe una solución matemática única. Después de enviar la partícula y ver dónde termina, podemos usar su ubicación final y la ecuación de Euler-Lagrange para ver qué camino tomó para llegar al punto final, pero puede haber múltiples soluciones.

Lo mismo ocurre con los sistemas ópticos. Cuando dispara un láser, especifica las condiciones iniciales del rayo láser por la posición del láser y la dirección que apunta. Esto establece un problema de valor inicial que tiene una solución única. Una vez que averigüe hacia dónde va el rayo, puede usar los puntos inicial y final del rayo junto con el principio de Fermat para determinar el camino que tomó para llegar allí. Pero puede encontrar que existen múltiples soluciones al principio de Fermat, y necesita usar el sentido común o algunos datos discretos sobre la orientación del láser para averiguar cuál es la correcta.

Algunas observaciones finales sobre el caso particular que está considerando. El camino más corto real en el sistema dibujado en el OP sería el que va directamente desde el punto A hasta la esquina interior de la "C", luego baja por el límite entre el aire y el diamante hasta la otra esquina, luego directamente al punto B.Una característica curiosa de este camino es que las perturbaciones infinitesimales en el segmento del camino a lo largo del límite del aire y el diamante darían como resultado cambios discontinuos en la longitud del camino, porque si empuja el camino desde el lado del aire hacia el lado del diamante la longitud es 2,45 veces más larga. Esto significa que los argumentos habituales del cálculo variacional (como los que se utilizan para derivar la ecuación de Euler-Lagrange) no funcionan, ya que suponen una variación suave de la acción (es decir, la longitud del camino óptico) con pequeñas perturbaciones en el camino. Así que hay que tener más cuidado en este caso. De hecho, normalmente ninguna luz seguirá físicamente este camino (al menos en el nivel de la óptica geométrica), porque no hay nada que "desvíe la luz a la vuelta de la esquina".

Otra característica interesante de este sistema es que podría (dependiendo de las posiciones exactas de A y B) haber otra ruta localmente extrema de A a B, a saber, la que entra en el diamante en ángulo, experimenta una reflexión interna total en el aire.-interfaz de diamante, y luego rebota de nuevo a B. Entonces, si tiene una bombilla (que envía luz en todas direcciones) en el punto A y alguien sentado en el punto B, la persona en B vería dos luces, una de la línea rectaa A y otro que viene en ángulo desde la izquierda.Esta es otra ilustración de las advertencias sobre el principio de Fermat⁠: si la luz no tiene una dirección inicial bien definida, ¡puede seguir múltiples trayectorias estacionarias!

Como el artículo de Wikipedia sobre el principio de Fermat establece en su introducción, este principio, como el principio de "mínima" acción, se establece correctamente, no como algo ligero tomando el camino con el mínimo tiempo tomado pero uno con tiempo estacionario con respecto a las variaciones de la ruta.

TL; DR: Esto se debe básicamente a que el principio de Fermat es estrictamente hablando un principio de tiempo estacionario en lugar del tiempo mínimo. Tenga en cuenta que las rutas estacionarias entre 2 puntos no tienen por qué ser únicas ni existir. La luz en principio viaja a lo largo de todos los caminos estacionarios.

Más detalles: suponga, por razones técnicas, que el índice de refracción $ n ({\ bf r}) $ es un función suave de la posición $ {\ bf r} $ . (En particular, las transiciones entre 2 medios se modelan como suaves. Piense, por ejemplo, en una fibra óptica con una fusión gradual suave del revestimiento. Supongamos también que no hay espejos en la configuración para simplificar.)

Luego, el sistema óptico se puede modelar como una variedad Riemanniana $ (M, g) $ 3D conectada, donde tensor métrico $ g $ viene dado por (infinitesimal) longitud de ruta óptica.

(El tensor métrico $ g $ no debe confundirse con el tensor métrico que produce distancias euclidianas 3D habituales).

Las rutas estacionarias se vuelven (no necesariamente minimizan la longitud) geodésicas wrt. la métrica $ g $ . Supongamos además que el $ (M, g) $ es geodésicamente completo, de modo que podamos aplicar el Hopf – Rinow teorema, que implica que 2 puntos cualesquiera tienen una geodésica que minimiza la longitud.

Volviendo a la pregunta del título de OP, imagina que existe una ruta (no necesariamente estacionaria) $ \ gamma_1 $ que tiene una longitud óptica más corta que alguna ruta estacionaria $ \ Gamma_2 $ , cf. Figura de OP. Entonces sabemos que existe una ruta estacionaria $ \ Gamma_1 $ que también tiene una longitud óptica más corta que $ \ Gamma_2 $ intervalo>.

El principio de Fermat no dice el tiempo más corto .Dice que el tiempo que se tarda a lo largo del rayo es estacionario bajo pequeñas perturbaciones del camino.

Los reflejos de un espejo cóncavo, por ejemplo, producen un punto de silla local donde el tiempo de viaje aumenta con algunos cambios, disminuye con otros, pero siempre solo en segundo orden en la magnitud del cambio en la trayectoria del rayo./ p>