La respuesta es que no importa.

La distancia a la que los campos se asemejan a la de una carga puntual es también la distancia a la que no importa dónde se encuentra ese punto dentro de la estructura.El cambio de campo debido al cambio de origen dentro del conductor será comparable a las correcciones a la aproximación de carga puntual, ambas derivadas de términos multipolares del mismo orden.

Basado en algunas de las idas y venidas que veo, creo que estás haciendo la pregunta incorrecta. Creo que la pregunta que quieres hacer es "Dada una distribución de cargo $ \ rho (\ mathbf {r}) $, ¿dónde debería colocar una fuente puntual para que el potencial exacto $ \ phi (\ mathbf {r}) = \ int \ rho (\ mathbf {r} ') / | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' | dv '$ ¿se aproxima más de cerca por el potencial de la fuente puntual? "

La respuesta es que desea elegir $ \ mathbf {r} _0 $ de modo que

$ \ int (\ mathbf {r} '- \ mathbf {r} _0) \ rho (\ mathbf {r}') dv '= 0 $

Si la distribución de carga es uniforme, entonces la respuesta está en el centroide. La razón por la que este es el punto correcto es que hace que el momento dipolar de la diferencia entre las soluciones exacta y aproximada llegue a cero. Entonces, el error en el potencial es $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 3) $, mientras que con cualquier otra opción el error incluiría el término dipolo y, por lo tanto, sería $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2 PS (Establecer correctamente la magnitud del cargo puntual representa el término monopolo de $ \ mathcal {O} (1 / r) $.)

Aclaración adicional:

La elección de $ \ mathbf {r} _0 $ que satisface la restricción dipolar anterior es

$ \ mathbf {r} _0 = \ frac {\ int \ mathbf {r} '\ rho (\ mathbf {r}') dv '} {\ int \ rho (\ mathbf {r}') dv ' } $

y se puede considerar como un "centro de carga" similar a un centro de masa.

La expansión multipolo del potencial $ \ phi (\ mathbf {r}) $ contiene términos de orden creciente en $ 1 / r $

• Los términos monopolares decaen con $ \ mathcal {O} (1 / r) $. Cualquier distribución de carga con la misma carga total dentro de una región local tiene el mismo momento monopolo. Es por eso que una carga puntual con la misma carga total funciona como una aproximación, y no importa dónde esté, siempre que esté cerca de la misma región. Con esta aproximación, el error entre el potencial exacto y la aproximación será $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $. Si $ r $ es lo suficientemente grande, entonces, como dicen todos los demás, funciona bien y no importa dónde esté $ \ mathbf {r} _0 $.
• Sin embargo, si queremos, podemos ser aún más precisos con una elección juiciosa de la ubicación de la carga puntual.Los términos dipolares decaen con $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 2) $.Dado que la fuente puntual claramente no tiene momento dipolar, elegir el punto $ \ mathbf {r} _0 $ para que el potencial exacto no tenga un momento dipolar alrededor de $ \ mathbf {r} _0 $ elimina $ \ mathcal {O} (1 / r^ 2) $ dependencia del error.Esto deja solo $ \ mathcal {O} (1 / r ^ 3) $ y términos de error superiores.

La expansión multipolar es una aproximación útil al orden bajo (mono-, di, - cuadrupolo) si el diámetro de la distribución de carga $ d $ es mucho menor que la distancia a la que se observa el campo o potencial $ r $.

Esa distancia de observación es con respecto a un origen, que colocas convenientemente en algún lugar dentro de la distribución de carga.Énfasis en algún lugar , porque moverse con el origen a una distancia máxima de $ d $ no cambiará mucho $$ | r | ^ {- 1} \ approx | r + d | ^ {- 1} \ text {para $ d \ ll r $} $$ Puede colocar el origen, también conocido como la fuente del campo monopolo, en cualquier lugar dentro de $ ^ 1 $ la distribución de carga.No es un punto dictado por la teoría.Normalmente uno lo elegiría de tal manera que los momentos superiores se desvanezcan.

Siempre se puede hacer desaparecer el momento dipolar colocando el origen en el centro de carga.

$ ^ 1 $ Puede colocarlo fuera del (cono convexo alrededor) de las cargas, pero nunca obtendrá momentos más altos para desaparecer.

Está asumiendo implícitamente que lo suficientemente lejos de una distribución de carga limitada, el campo eléctrico se vuelve perfectamente radial, es decir, cada línea de campo eléctrico se encontraría en un solo punto si solo la proyectara en línea recta. Línea de regreso a la vecindad de la distribución de carga. Pero este no es el caso; Si pudiera medir la dirección de los campos eléctricos lejanos con tanta precisión que pudiera extrapolarlos a la región fuente con una precisión mejor que la distribución espacial de la carga fuente, descubriría que no se cruzan exactamente en el mismo punto. Los campos eléctricos en diferentes puntos lejanos apuntarían a partes ligeramente diferentes de la distribución de carga. A medida que se aleja cada vez más, los campos eléctricos se acercan cada vez más a ser radiales, por lo que necesita conocer sus direcciones con mayor precisión para saber con qué parte específica de la distribución de carga están alineados. Medir los campos con esta precisión adicional corresponde a medir el dipolo en lugar de la contribución del monopolo (que cae más rápido). Estos datos de dipolo, a su vez, le brindan más información sobre los detalles de la configuración de carga que solo su carga total, que es lo que obtiene de la parte puramente radial del campo.

Me gustaría agregar otro ejemplo y aclarar una de mis declaraciones en los comentarios que hice a la pregunta del OP.

Si tiene una chapa cuadrada de 1cm de lado. Puedes considerar el apunte para estar en cualquier lugar cerca del metal si está a una milla de distancia. El punto NO es el centroide. El centroide es una cantidad puramente geométrica. los La densidad de carga puede variar según la geometría. Usualmente obtienes el ubicación del punto cuando aplica las aproximaciones a la exacta fórmula.

No hay un punto fijo, pero obtienes la ubicación después de aplicar el aproximación. Por ejemplo, considere un dipolo, si ha utilizado r como la distancia desde el punto donde desea encontrar la intensidad del campo al punto medio del dipolo. Entonces vas a asumir que todos la carga se concentra en el punto medio del dipolo desde una distancia lejana lugar de distancia.

Su punto de interés P está tan lejos del dipolo que la distancia entre el punto P y el punto medio del dipolo es esencialmente la misma que la distancia entre el punto P y la carga negativa del dipolo.

El cambio de la ubicación de la carga puntual no provoca ningún cambio significativo en la respuesta.

Puede asumir que la carga puntual está en el punto medio del dipolo, o está en la carga positiva o está en la carga negativa. Cualquier punto que elija, su respuesta arrojará prácticamente el mismo número. Muchas veces, la incertidumbre en nuestros instrumentos de medición es mucho mayor que no podemos notar la diferencia al cambiar la ubicación del punto. Por supuesto, no puede ir demasiado lejos con su aproximación.