Ley de los grandes números

Esta ley simplemente establece que si repite un ensayo muchas veces, el resultado tiende a ser el valor esperado.Por ejemplo, si lanza un dado de 6 caras, podría obtener cualquiera de los seis resultados 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pero el promedio de los seis resultados es 3,5, y si lanza el dado de 6 carasun millón de veces y toma el promedio de todos, es muy probable que obtenga un promedio de alrededor de 3.5.

Pero es posible que 1) no obtenga un número cercano a 3.5; de hecho, existe una probabilidad distinta de cero de que obtenga un promedio de, por ejemplo, 2 o 1, y 2) aún no puede predecir qué resultado obtendrácuando lanza un solo dado.

De la misma manera, es posible que no pueda predecir cuándo se descompondrá un solo átomo (es decir, cuando lance un solo dado), pero puede hacer muy buenas predicciones cuando tenga muchos átomos (es decir, equivalente a lanzar elmueren millones de veces).

Como ilustración, podemos simular la desintegración radiactiva utilizando varios números iniciales de átomos.Obtenemos algo como esto:

Las dos gráficas muestran la proporción de átomos restantes en función del tiempo.El panel inferior usa una escala logarítmica para ver mejor lo que está sucediendo.Cada curva muestra una simulación con una población inicial determinada (de 1 a 1000 átomos). Como puede ver, a medida que aumenta el número de átomos, las curvas convergen rápidamente a la curva límite (en azul).Como el número de átomos en muchos problemas es mucho mayor que 1000, tiene sentido usar la curva límite para modelar la población de átomos.

La desintegración radiactiva es completamente aleatoria y es imposible predecir cuándo se desintegrará un átomo específico. Sin embargo, en cualquier momento, cada átomo radiactivo de una muestra tiene la misma probabilidad de descomponerse. Por lo tanto, el número de eventos de desintegración (o reducción en el número de átomos) $ - dN $ en un pequeño intervalo de tiempo $ dt $ es proporcional al número de átomos $ N $ .

Entonces $ - \ frac {dN} {dt} = kN $ . La solución a esta ecuación diferencial es $ N (t) = N (0) e ^ {- kt} $ .

Entonces, cuando hay un número suficientemente grande de átomos en una muestra, su número puede tratarse como continuo y se puede usar una ecuación diferencial para resolver la cantidad de muestra.

En otras palabras, después de una vida media, no siempre queda exactamente la mitad de los átomos debido a la aleatoriedad del proceso. Pero cuando hay muchos átomos idénticos en descomposición, es una aproximación bastante buena decir que la mitad de los átomos permanecen después de una vida media (para un número suficientemente grande de átomos es poco probable que ocurran grandes fluctuaciones).

Hablando en términos generales, un número aleatorio siempre está distribuido por Poisson, si tenemos un número "grande" de eventos posibles, cada uno de los cuales es "raro" e independiente entre sí. Esto se puede mostrar matemáticamente (busque el proceso de Poisson). Dado que esto se aplica al número de correos electrónicos no deseados recibidos por hora y a la desintegración de un isótopo radiactivo, ambos se distribuyen como $$ Pr (X = k) = \ frac {\ lambda ^ k e ^ {- \ lambda}} {k!} $$ donde $ \ lambda $ es la constante de velocidad (adimensional) del proceso de Poisson, que es igual al valor promedio, $ E [X] = \ lambda $ así como a la varianza, $ Var [X] = \ lambda $ . En Física solemos reemplazar $ \ lambda \ por \ tilde \ lambda \ cdot t $ , donde $ \ tilde \ lambda $ tiene la dimensión $ s ^ {- 1} $ .

Para simplificar el argumento anterior, se podría decir que la ley $ e ^ {- \ tilde \ lambda t} $ de los isótopos radiactivos se debe a un efecto promedio .

La razón subyacente se debe a la naturaleza probabilística de los eventos cuánticos.A nivel cuántico, después de un período de tiempo determinado, cada evento tiene una probabilidad particular de ocurrir.Al igual que lanzar un dado, nunca se sabe cuándo sacará un seis, pero sabe que en ese momento aparecerá uno.Si tira cientos o miles de veces, las matemáticas de la probabilidad le darán una buena idea de cuál será la distribución de seis.

Lo mismo ocurre con la radiactividad.Nunca se sabe cuándo un átomo dado "sacará un seis" y decaerá.Pero sabes cuál será la distribución de los eventos de desintegración en un grupo de átomos.

Es posible que aún desee saber, ¿por qué los eventos cuánticos son probabilísticos?¡Ay!Es uno de los misterios más profundos de la vida.Las matemáticas funcionan, eso es todo lo que podemos decir con seguridad.

La razón subyacente de esto es cómo definimos el problema.

Si tengo 100 partículas radiactivas individuales identificables, mi capacidad para predecir si alguna de ellas en particular se desintegra o no es mejor que el azar. Sin embargo, en las situaciones que usted describe, no las tratamos como 100 partículas radiactivas identificables individuales. Cualquiera en descomposición se trata de la misma manera que cualquier otra descomposición.

Aquí es donde entra en juego el teorema del límite central. Debido a que estamos viendo la suma de todas las partículas que se desintegraron, y cualquier desintegración es igual a cualquier otra, el comportamiento comienza a volverse más predecible. No sabemos qué partículas se descompondrán, pero podemos estar más seguros de cuántas se descompondrán en cualquier período de tiempo.

Si llega a un número suficientemente grande (digamos, unos pocos millones de átomos), encontrará que el número de desintegraciones en cualquier período de tiempo es extremadamente predecible. No es porque la radiactividad se haya vuelto más predecible, sino más bien porque está eligiendo medir algo que es más predecible.

Porque un valor promedio es único ("determinista"), al contrario de un resultado único.

Creo que lo que te confunde es la forma en que usamos palabras como "aleatorio" e "impredecible". Piense en un dado de seis caras. El dado tiene una estructura muy específica. Es muy simétrico. Debido a esto, podemos decir con mucha certeza que si tira ese dado 10,000 veces, aproximadamente una sexta parte de las veces mostrará un 2.

El proceso de desintegración radiactiva de miles de millones de átomos idénticos es como lanzar miles de millones de dados estructurados uniformemente. Cada átomo tiene la misma estructura y propiedades. Por tanto, podemos decir con mucha certeza qué fracción se deteriorará con el tiempo. No sabes nada acerca de lo que va a hacer una sola tirada, pero debido a la estructura del dado, puedes decir algo sobre lo que esperas de los resultados de diez mil tiradas. Los átomos están "haciendo el experimento de desintegración" (o, en cierto sentido, "lanzando el dado y decidiendo en función de esa tirada si se desintegra o no) miles de millones de veces. Así que obtienes resultados agradables y uniformes porque se están realizando tantos experimentos idénticos .

Puede parecer una contradicción que algo tan predecible (tasa general de deterioro) surja de algo en el que cada acción individual es "impredecible". Pero la "previsibilidad" en el caso del dado proviene del hecho de que el dado en sí mismo no es algo aleatorio, está estructurado de manera muy simétrica. De manera similar, las propiedades de un tipo particular de átomo son siempre las mismas. Entonces, de ahí es de donde proviene la predictibilidad: refleja la uniformidad de ese tipo particular de propiedades del átomo, al igual que el 1,2,3,4,5,6 uniformemente distribuido del dado es un reflejo de la estructura uniforme del dado.

En nuestras cabezas, podríamos asignar "aleatorio" e "impredecible" al mismo lugar, pero eso es un poco engañoso.Para muchas, muchas cosas en las que el experimento individual tiene un resultado "aleatorio", existe una estructura o propiedad subyacente que se muestra cuando se repite lo suficiente.De ahí la aparente contradicción de obtener resultados altamente predecibles de un proceso "aleatorio".

Es un principio común en física que una cantidad emerja de las propiedades colectivas de la materia. Por ejemplo, considere la 'temperatura', en la teoría cinética de los gases, la temperatura es la energía cinética promedio de todas las moléculas de gas. Pero ahora observe que cada gas en sí no tiene temperatura.

Aquí tienes otra forma de pensarlo, imagina ir a un aeropuerto, por ejemplo. Si vas al aeropuerto y luego te acercas a personas al azar y les preguntas "¿Por qué estás aquí?" entonces, un porcentaje razonable de personas del total de personas preguntadas respondería "viajar en avión". Pero también hay personas que simplemente van al aeropuerto para ver partir a sus amigos y familiares. Tenga en cuenta que esta observación de que la mayoría de las personas en un aeropuerto viajan en avión es un resultado directo del tipo de lugar en el que se encuentra un aeropuerto

Entonces, aquí no tenemos idea de que la partícula se descompondrá o no en el futuro inmediato. La forma en que 'preguntamos' es que tomamos lecturas experimentales de cuántas partículas quedan al final. Y, estas lecturas dependerían completamente del tipo de partícula que sea (haciendo una analogía con los aeropuertos)

Espero que esto te haya ayudado a comprender mejor la idea :) Por favor, deja un comentario si hay alguna parte que no esté clara