El avance de la turbulencia ha llegado a rachas y rachas, y es muy activo en los últimos años, debido a la influencia de AdS / CFT. Creo que se resolverá pronto, pero esta opinión fue compartida por muchas generaciones anteriores y puede ser demasiado optimista.
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones básicas de movimiento para Los flujos turbulentos se conocen desde el siglo XIX. La velocidad del fluido obedece a las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes:
$$ \ dot v_i + v ^ j \ nabla_j v ^ i + \ partial_i P = \ nu \ parcial_j \ parcial_j v_i $$ y
$$ \ partial_j v_j = 0 $$
Donde se repite los índices se suman y las unidades de masa normalizan la densidad del fluido para que sea 1.
Cada uno de los términos es fácil de entender: el término no lineal da la advección, dice que la fuerza sobre el fluido actúa para Acelere el fluido a medida que avanza junto con el fluido, no en una posición x fija. El término de presión P es solo una fuerza de restricción que impone la incompresibilidad, y se determina tomando la divergencia de la ecuación y haciendo cumplir ese $ \ partial_i v_i = 0 $ . Esto determina el Laplaciano de la presión
$$ \ partial_i v ^ j \ partial_j v_i + \ partial_i \ partial_i P = 0 $$
La fuerza de fricción dice que además de moverse consigo misma y doblarse para mantener la densidad constante, la velocidad se difunde con una constante de difusión $ \ nu $ span >. En el límite $ \ nu = 0 $ , obtienes las ecuaciones de Euler, que describen la hidrodinámica en ausencia de fricción.
En cualquier límite apropiado condiciones, como caja periódica, o velocidades de fuga en el infinito, la ecuación de presión determina la presión a partir de la velocidad. Las ecuaciones se pueden resolver en una cuadrícula y el futuro se determina a partir del pasado.
El problema de la arcilla no tiene nada que ver con la turbulencia
El problema de mostrar que el límite cuando la cuadrícula llega a cero es sensato y suave en todas partes está lejos de ser trivial. Es uno de los problemas de premios millonarios del Instituto Clay. La razón por la que esto no es trivial no tiene nada que ver con la turbulencia, sino con el escalado de Reynolds mucho más fácil.
Existe una invariancia de escala en el espacio de la solución, como se describe en el blog de Terrance Tao. La escala clásica de Reynolds dice que si tiene un flujo de líquido incompresible y lo hace dos veces más pequeño, dos veces más rápido, obtiene un segundo flujo que también está bien. Puede imaginar un flujo de fluido que genera una copia más pequeña y más rápida de sí mismo, y así sucesivamente, y eventualmente produce un punto singular donde el flujo es infinitamente rápido e infinitamente pequeño, una singularidad.
Este tipo de singularidad tiene una energía extremadamente pequeña en 3d, porque el volumen se contrae más rápido de lo que aumenta la densidad de energía de velocidad. Esto es bueno y malo a la vez, es malo para los matemáticos, porque significa que no se puede usar una energía simple destinada a prohibir este tipo de divergencia. Es bueno para la física, porque significa que este tipo de explosiones, incluso si ocurren, son pequeñas manchas completamente irrelevantes que no afectan el movimiento del panorama general, donde está ocurriendo la turbulencia. Si ocurren, solo afectarán pequeños puntos cero a distancias pequeñas, y se resolverían con una nueva física, una hiperviscosidad más fuerte, que los haría descomponerse en algo suave antes de explotar. No conducen a una pérdida de previsibilidad fuera de una región microscópica, porque existe una simetría galilea que desacopla los flujos a gran escala de los flujos a pequeña escala. A un gran flujo no le importa una divergencia puntual, solo adverte la divergencia. No se trata de matemáticas rigurosas, pero es obvio en el sentido físico y no debería hacer que nadie que estudie la turbulencia pierda el sueño por la existencia / singularidad.
Cuando reemplaza la difusión de velocidad con una amortiguación más rápida, llamada "hiperviscosidad", puede probar la existencia y la singularidad. Pero el problema de la turbulencia no se ve afectado por la hiperviscosidad, ni siquiera por la viscosidad ordinaria. Todo está sucediendo en el régimen de Euler, mucho antes de que la viscosidad entre en acción. Esta es otra razón para estar seguro de que el problema de Clay es irrelevante.
Si estuviera escribiendo el problema de Clay, no lo haría. han pedido existencia / singularidad. Habría pedido una distribución estadística sobre los campos de velocidad diferencial, que es un estado estable de atracción para el flujo NS agitado de longitud de onda larga. Este es un problema mucho más difícil y mucho más importante, porque es el problema de la turbulencia. Además, si tal distribución existe, y si atrae lo suficiente, podría demostrar que las ecuaciones NS tienen una solución suave lejos de un conjunto de condición inicial de medida cero. El punto fijo de atracción ciertamente tendrá una disminución exponencial de la energía en el régimen viscoso, y si todo se acerca a esto, todo se mantiene sin problemas.
¿Por qué turbulencia?
Horace Lamb, un Bien conocido físico matemático del siglo XIX, como un anciano bromeó que cuando llegara al cielo, le haría a Dios dos preguntas: "¿Por qué la relatividad? y ¿por qué la turbulencia?" Luego dijo que es optimista acerca de obtener una buena respuesta a la primera pregunta.
Creo que debería haber sido optimista sobre la segunda también. La razón de la turbulencia ya está clara en la catástrofe ultravioleta de la mecánica estadística clásica. Siempre que tenga un campo clásico, la equipartición de energía significa que toda la energía se concentra en los modos de longitud de onda más corta, por la sencilla razón de que hay un montón de modos de longitud de onda corta más que modos de longitud de onda larga. Esto significa que es imposible alcanzar el equilibrio de partículas clásicas y campos clásicos, los campos absorben toda la energía hasta las escalas de distancias más cortas.
Pero en la mayoría de las situaciones, hay movimientos que no pueden transferir energía fácilmente a distancias cortas directamente. La razón es que estas mociones están protegidas por leyes de conservación. Por ejemplo, si tiene una onda de sonido, localmente se ve como una traducción del cristal, lo que significa que no puede descargar energía en modos cortos de inmediato, pero lleva un tiempo. Para el sonido, hay una atenuación gradual que desaparece a longitudes de onda largas, pero la atenuación es real. Hay un flujo de energía desde los modos de longitud de onda larga a los de longitud de onda más corta en un solo paso.
Pero en otras teorías de campo, el flujo de energía es más local en $ k $ -espacio. El análogo de la fricción de la onda de sonido en Navier-Stokes es la atenuación de una velocidad debido a la viscosidad. Este es un proceso de difusión y escala como $ \ sqrt {r} $ donde $ r $ es el escala de variación de velocidad. Si tiene un término que mezcla modos de forma no lineal que escala mejor a largas distancias, que lleva menos tiempo para mover energía a modos más pequeños que el proceso de disipación difusiva de un paso, dominará a largas distancias.
Además, si se trata de un término no lineal polinomial que conserva energía, la mezcla se producirá generalmente entre escalas cercanas. La razón es la aditividad de los vectores de onda en la multiplicación. Un término cuadrático con una derivada (como en la ecuación de Navier-Stokes) producirá nuevos números de onda en el rango de la suma de los números de onda del movimiento original.
Por lo tanto, debe haber un flujo local de energía en números de onda, solo del conteo del modo de catástrofe ultravioleta, y este flujo de energía debe ser local (local en el espacio logarítmico) debido a la restricción de aditividad del número de onda. El fenómeno de la turbulencia ocurre en el régimen donde este flujo de energía, llamado cascada (hacia abajo), domina la dinámica y el término de fricción es insignificante.
Teoría de Kolmogorov
El primer gran avance en el estudio de la turbulencia se produjo con Kolmogorov, Heisenberg, Obukhov y Onsager en los años de la guerra. El colapso en tiempos de guerra en las comunicaciones científicas significa que estos resultados probablemente fueron independientes.
La teoría que surgió generalmente se llama K41 (para Kolmogorov 1941), y es la descripción de orden cero th de turbulencia. Para describir la cascada, Kolmogorov asumió que hay un flujo de energía constante hacia abajo, llamado $ \ epsilon $ , que termina en el régimen en el que se activa la viscosidad, y que hay muchas décadas de flujo local en $ k $ -espacio entre la región de bombeo donde se conduce el fluido y la región viscosa donde se drena la energía.
El resultado es que el espectro tiene una distribución estadística de energía en cada modo. Kolmogorov dio un argumento dimensional para esta distribución que se ajustaba aproximadamente a la precisión de la medición en ese momento.
De la ley de escala, se podían extraer todas las funciones de correlación de la velocidad, y había una relación exacta: el Kolmogorov -Obukhov -5/3 ley. Se creyó que estas relaciones resolverían el problema durante una década.
Turbulencia 2D
En 2D, Kraichnan predijo un fenómeno notable: la cascada inversa. El argumento genérico del ultravioleta asume que el movimiento es ergódico en la superficie de la energía, y esto requiere que no existan leyes de conservación adicionales. Pero en 2d, el flujo conserva el cuadrado de la vorticidad, llamado enstrofia. La enstrophy $ U $ es
$$ U = \ int | \ nabla \ times v | ^ 2 $$
Y esto tiene dos derivadas más que la energía, por lo que crece más rápido con $ k $ . Si realiza una distribución estadística de Boltzmann para $ v $ a energía constante y enstrofia constante, el $ k $ span > los modos están fuertemente suprimidos porque tienen una enorme enstrofia. Esto significa que no puede generar modos altos $ k $ a partir de modos pequeños $ k $ .
¡En cambio, encontrará más libertad en los modos pequeños $ k $ ! La cascada de energía aumenta genéricamente, en lugar de descender, porque a longitudes de onda más largas, puede distribuir la energía en más movimientos con la misma enstrofia inicial, porque la restricción de la enstrofia desaparece. Esta es la cascada inversa, y fue predicha teóricamente por Kraichnan en 1968.
La cascada inversa es notable, porque viola las intuiciones de la catástrofe ultravioleta. Ha sido ampliamente verificado por simulaciones y experimentos en flujos 2d aproximados. Proporciona una explicación para la aparición de estructuras a gran escala en la atmósfera, como los huracanes, que se amplifican por los flujos turbulentos circundantes, en lugar de descomponerse. Es el avance más significativo en la teoría de la turbulencia desde K41.
Teoría moderna
Intentaré revisar la literatura reciente, pero no estoy familiarizado con gran parte de ella, y es un campo muy profundo, con muchos desacuerdos entre varios campos. Desafortunadamente, también hay muchos resultados erróneos.
Un gran impulso para el trabajo moderno proviene del análisis de flujos turbulentos en nuevos sistemas análogos a los fluidos. El fenómeno de la turbulencia debe ocurrir en cualquier ecuación no lineal, y la imagen en cascada debe ser válida siempre que las interacciones se aproximen razonablemente mediante polinomios que son locales en el espacio log- $ k $ .
Un lugar donde esto se estudia mucho es en cosmología, en modelos de precalentamiento. El campo que está haciendo la turbulencia aquí es un inflatón escalar (o campos acoplados al inflatón) que transfiere energía en una cascada para producir eventualmente partículas modelo estándar.
Otro lugar donde se estudia esto es en quark gluon plasmas. Estos fluidos tienen un régimen de flujo que está relacionado con un dual gravitacional por AdS / CFT. El análogo gravitacional de los flujos turbulentos tiene una contraparte gravitacional clásica en las leyes del paradigma de membrana de los agujeros negros. Yaron Oz es una de las personas que trabaja en esto.
Uno de los resultados más asombrosos de los últimos años es la derivación de Oz de las leyes exactas de la escala turbulenta solo a partir de los principios de conservación, sin una explicación completa. supuesto en cascada. Esto es, http://arxiv.org/abs/0909.3404 y http://arxiv.org/abs/0909.3574
Modelo Kraichnan
Kraichnan dio un modelo interesante para la advección de campos escalares pasivos por un flujo turbulento. El modelo es una partícula de polvo transportada por el fluido.
Esto es importante, porque la partícula adveída hace un vuelo Levy, no un movimiento browniano. Esto se ha verificado experimentalmente, pero también es importante porque ofrece una explicación cualitativa de la intermitencia.
Los vuelos de impuestos tienden a agruparse en regiones antes de avanzar con un gran salto. La velocidad se advecta tanto como advecta una partícula de polvo, por lo que si el polvo está haciendo un vuelo Levy, es razonable que la velocidad también lo esté haciendo. Esto significa que se espera que las perturbaciones de velocidad se concentren en regiones de turbulencia aislada y que esta concentración debe seguir una ley de potencia bien definida, de acuerdo con la advección escalar.
Estas ideas están relacionadas con el modelo de multifractales de Mandelbrot. Mandelbrot dio este modelo para comprender cómo es que los flujos turbulentos pueden tener un gradiente de velocidad que se concentra en ciertas regiones geométricas. El modelo es cualitativo, pero la imagen corrige los exponentes de K41, que asumen que la velocidad está en cascada de manera homogénea en todo el espacio.
Formalismos Martin-Siggia-Rose
El mayor avance en el El enfoque de renormalización de la turbulencia se produjo en la década de 1970, con el desarrollo del formalismo Martin-Siggia-Rose. Esto proporcionó una manera de describir formalmente las estadísticas de una ecuación clásica utilizando un campo multiplicador de Lagrange que acompaña al análisis de renormalización.
Forster Nelson Stevens dio un análisis clásico del problema de la cascada inversa en 3d, el problema del perfil de longitud de onda larga de un fluido agitado a distancias cortas. Si bien este problema no está directamente relacionado con la turbulencia, tiene alguna conexión en el sentido de que la distribución estadística de estado estable requiere tener en cuenta las interacciones entre modos vecinos, que conducen a una cascada.
Los puntos fijos FNS incluyen espectros similares a Kolmogorov con algunas fuerzas de agitación, pero no hay ninguna condición para que las fuerzas de agitación se encuentren en un punto fijo del grupo de renormalización. Su análisis, sin embargo, sigue siendo el punto culminante del formalismo MSR aplicado a la turbulencia. Este tema ha estado inactivo durante casi treinta años.
Lo que queda por hacer
El principal problema sin resolver es predecir los exponentes de intermitencia: las desviaciones de la escala de Kolmogorov en las funciones de correlación de turbulencia completamente desarrollada. Estos exponentes ahora se conocen experimentalmente con dos decimales, creo, y su universalidad se ha verificado ampliamente, por lo que el concepto de cascada estadística homogénea tiene sentido.
La derivación de estos exponentes requiere un nuevo principio mediante el cual se puede extraer la distribución estadística de un campo que interactúa de forma no lineal a partir de las ecuaciones de movimiento. Hay soluciones formales que no te llevan a ninguna parte, porque comienzan muy lejos de los puntos fijos de renormalización, sin embargo, cada enfoque es esclarecedor de una forma u otra.
Esta es una revisión terrible, de memoria, pero es mejor que nada. Disculpas a la mayoría desatendida.