$ \ newcommand {\ t} {[\ text {time}]} \ newcommand {\ e} {[\ text {energy}]} \ newcommand {\ a} {[\ text {angle}]} \ newcommand {\ l} {[\ text {length}]} \ newcommand {\ d} [1] {\; \ mathrm {d} # 1} $ Dimensiones frente a unidades :

Quiero hacer una conjetura educativa sobre por qué los ángulos se consideran adimensionales mientras se hace un análisis dimensional. Antes de hacer eso, debes tener en cuenta que los ángulos tienen unidades. Son simplemente adimensionales. La definición de unidad de medida es la siguiente:

Una unidad de medida es una magnitud definida de una cantidad física, definida y adoptada por convención o por ley, que se utiliza como estándar para medición de la misma cantidad física.

De hecho, hay muchas unidades para medir ángulos, como radianes, ángulos, minuto de arco, segundo de arco, etc. Puedes echar un vistazo a esta página de Wikipedia para obtener más información sobre las unidades de ángulos.

La dimensión de un objeto es una cantidad abstracta y es independiente de cómo se mida esta cantidad. Por ejemplo, las unidades de fuerza son Newton, que es simplemente $ kg \ cdot m / s ^ 2 $. Sin embargo, las dimensiones de la fuerza son

$$ [F] = [\ text {mass}] \ frac {[\ text {length}]} {\ t ^ 2} $$

a veces se indica como

$$ [F] = [M] \ frac {[X]} {[T] ^ 2} $$

pero me ceñiré a la primera convención. La diferencia entre unidades y dimensiones es básicamente que las dimensiones de una cantidad son únicas y definen cuál es esa cantidad. Sin embargo, las unidades de la misma cantidad pueden ser diferentes, por ejemplo. las unidades de fuerza pueden ser perfectamente $ onza \ cdot pulgada / ms ^ 2 $.

Ángulos como cantidades adimensionales

En cuanto a por qué Me gustaría considerar los ángulos como cantidades adimensionales, daría ejemplos y consideraría las consecuencias de que los ángulos tengan dimensiones:

Como saben, la frecuencia angular viene dada por

$$ \ omega = \ frac {2 \ pi} T \;, $$

donde $ T $ es el período de la oscilación. Hagamos un análisis dimensional, como si los ángulos tuvieran dimensiones. Denotaré la dimensión de una cantidad con corchetes $ [\ cdot] $ como hice anteriormente.

$$ [\ omega] \ overset {\ text {por definición}} {=} \ frac {[\ text {angle}]} {[\ text {time}]} $$

Sin embargo, usando la fórmula anterior tenemos

$$ [\ omega] = \ frac {[2 \ pi]} {[T]} = \ frac {1} {[\ text {tiempo}]} \; , \ tag 1 $$

dado que una constante se considera adimensional, descarté el factor $ 2 \ pi $.

Este es un inconveniente en la noción de análisis dimensional. Por un lado tenemos $ [\ text {angle}] / \ t $, por otro lado tenemos solo $ 1 / \ t $. Puede decir que $ 2 \ pi $ representa las dimensiones del ángulo, por lo que lo que hice en la ecuación (1), es decir, descartar la constante $ 2 \ pi $ como un número adimensional es simplemente incorrecto. Sin embargo, la historia no termina aquí. Hay algunos factores de $ 2 \ pi $ que aparecen demasiado en las ecuaciones, por lo que definimos una nueva constante, p. la constante de Plank reducida, definida por

$$ \ hbar \ equiv \ frac {h} {2 \ pi} \; , $$

donde $ h $ es la constante de Plank. La constante de Plank tiene dimensiones $ \ text {energy} \ cdot \ t $. Ahora, si dices que $ 2 \ pi $ tiene dimensiones de ángulos, esto también indicaría que la constante de Plank reducida tiene unidades de $ \ e \ cdot \ t / \ a $, lo cual es casi una tontería ya que es solo una cuestión Es conveniente que escribamos $ \ hbar $ en lugar de $ h / 2 \ pi $, no porque tenga algo que ver con los ángulos como fue el caso de la frecuencia angular .

En resumen :

• Las dimensiones y las unidades no son las mismas. Las dimensiones son únicas y le dicen cuál es esa cantidad, mientras que las unidades le dicen cómo ha medido esa cantidad en particular.

• Si el ángulo tuviera dimensiones, entonces tendríamos que asignar un número, que no tiene ni unidad ni dimensión, una dimensión, que no es lo que nos gustaría hacer porque puede dar lugar a malentendidos ya que fue en el caso de $ \ hbar $.

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Si no compró el enfoque anterior o encontrarlo un poco circular, aquí hay un enfoque mejor: los ángulos son cantidades desagradables y no se reproducen tan bien como queremos. Siempre conectamos un ángulo a una función trigonométrica como seno o coseno. Veamos qué pasa si los ángulos tuvieran dimensiones. Tome la función seno como ejemplo y haga una aproximación por la serie de Taylor:

$$ \ sin (x) \ approx x + \ frac {x ^ 3} 6 $$

Ahora hemos dicho que $ x $ tiene dimensiones de ángulos, así que eso nos deja con

$$ [\ sin (x)] \ approx \ a + \ frac {\ a ^ 3} 6 $$

Tenga en cuenta que tenemos que agregar $ \ a $ con $ \ a ^ 3 $, lo cual no tiene ningún sentido físico. Sería como agregar $ \ t $ con $ \ e $. Como no hay forma de evitar este problema, nos gusta declarar $ \ sin (x) $ como adimensional, lo que nos obliga a hacer un ángulo adimensional.

Otro ejemplo de un problema similar proviene de las coordenadas polares . Como sabrá, el elemento de línea en coordenadas polares está dado por:

$$ \ ds ^ 2 = \ dr ^ 2 + r ^ 2 \ d \ theta ^ 2 $$

Un matemático no tiene ningún problema con esta ecuación porque a él / ella no le importan las dimensiones, sin embargo, un físico que se preocupa profundamente por las dimensiones no puede dormir por la noche si quiere que los ángulos tengan dimensiones porque como se puede verificar fácilmente el análisis dimensional se rompe.

$$ [\ ds ^ 2] = \ l ^ 2 = [\ dr ^ 2] + [r ^ 2] [\ d \ theta ^ 2] = \ l ^ 2 + \ l ^ 2 \ cdot \ a ^ 2 $$

Tienes que sumar $ \ l ^ 2 $ con $ \ l ^ 2 \ cdot \ a ^ 2 $ y establecerlo igual a $ \ l ^ 2 $, lo que no se hace en física. Es como agregar tomates y papas. Para obtener más información sobre por qué no debe agregar unidades demasiado diferentes, lea esta pregunta y las respuestas que se le brindan.

Resultado: Elegimos decir que los ángulos no tienen dimensiones porque de lo contrario nos causan demasiado dolor de cabeza, mientras hacemos un análisis dimensional.

La pregunta de tu amigo es perspicaz pero no está reñida con tu respuesta anterior.

Cuando comparas la longitud de algo con una unidad (1 metro), la proporción es de hecho un número sin unidades.

Pero entonces todos los números (1.5, $ \ pi $, 42) no tienen unidades. Cuando desee determinar la velocidad, divida el desplazamiento por el tiempo, cada uno de los cuales tiene unidades. Pero lo que ingresa en su calculadora son solo los números; maneja las unidades por separado.

"El corredor recorrió 100 metros en 10 segundos. ¿Cuál fue su velocidad promedio?" Se resuelve calculando la razón numérica 100/10 y sumando la razón dimensional m / s para conservar las unidades. La mayoría de las calculadoras no tienen (o necesitan) un medio para ingresar unidades (algunos programas de computadora sofisticados sí lo hacen, para ayudarlo a evitar errores al mezclar unidades).

Para algunos cálculos físicos, debe tomar el logaritmo: cuando lo haga, SIEMPRE tendrá que dividir la cantidad por algún factor de escala con las mismas unidades, ya que no es posible tomar el $ \ log $ de una unidad.

Es posible expresar cualquier cosa como un número adimensional. Vitruvio, un antiguo autor que escribió un libro sobreviviente sobre arquitectura romana, revela que los antiguos romanos hicieron sus cálculos hidrostáticos y arquitectónicos basados ​​en fracciones racionales, que son proporciones de una cantidad con otra.

Por convención, y Debido a que trabajar con todas las cantidades como proporciones resultaría engorroso y difícil, las cantidades físicas como la longitud, el tiempo, la velocidad, el momento, la corriente eléctrica, la presión, etc. se expresan en unidades acordadas.

Otra razón para Expresar cantidades físicas como unidades acordadas es que el análisis dimensional podría no ser posible si todas las cantidades físicas se expresaran como proporciones. Entonces, trabajar con unidades en lugar de proporciones proporciona otra herramienta para verificar y validar ecuaciones físicas, que deben tener las mismas dimensiones en los lados izquierdo y derecho.

Un artículo publicado en Control Systems Magazine por Bernstein, et. al., diciembre de 2007, y uno que se centra en la estructura algebraica de cantidades dimensionales sostiene que el ángulo no debe considerarse necesariamente una cantidad adimensional, sino más bien una unidad adimensional, que se tiene en cuenta a lo largo de un cálculo. El artículo extiende el análisis de unidades a matrices, sistemas lineales y espaciales de estados.

Además, y al contrario de lo que dice Floris, no hay ninguna razón por la que no puedas tener funciones de unidades no lineales (por ejemplo, logaritmo de radianes) para ir del punto A al punto B. (¡Pero debes tener cuidado con las singularidades!) Solo necesitas asegurarte cuando llegues al punto C, donde C es una cantidad observable, que las unidades se han transformado en unidades que son físicamente significativo. La consistencia algebraica es lo que en última instancia importa.

Y en la conclusión del artículo "Las dimensiones físicas son el vínculo entre los modelos matemáticos y el mundo real". Descubrí que muchos (al menos entre los ingenieros) no prestan suficiente atención a ese hecho.

Debe comprobar si una cantidad es invariante de escala o, de manera más general, invariante con respecto a un cambio de unidades. Los ángulos tienen esta propiedad: se definen como una relación de longitudes que ambas escalan en proporción a la figura geométrica. Una dilatación uniforme de un círculo, esfera o cualquier otra figura geométrica (equivalente a multiplicar nuestras unidades de longitud por un factor de conversión de metros a pies de pies a Snozfurgles estándar) deja la razón de dos distancias cualesquiera entre dos pares de puntos sin cambios.

Lo mismo no es cierto para la relación entre una longitud dimensionada y la longitud unitaria. Represente la longitud como un segmento de línea en un gráfico de coordenadas. Dilate la tabla de coordenadas como se muestra arriba y observa cómo se encoge / crece. Ahora, la longitud unitaria no escala de la misma manera: se define en términos de una longitud física : una varilla de medición unitaria, un número de longitudes de onda, etc. Estas cosas naturales no cambian con dilataciones arbitrarias que elegimos hacer en nuestros sistemas de coordenadas.

Es cierto que la longitud se puede expresar como una relación con respecto a 1 metro (o cualquier otra unidad). Pero esa unidad en sí, es decir, la idea de "1 metro" en sí misma no es adimensional. Lo que quiero decir es que la unidad "1 metro" en sí misma no se puede expresar como una proporción de cantidades similares de las mismas dimensiones; mientras que "1 radianes" se puede expresar como la relación entre la longitud del arco de "1 metro" y el radio de "1 metro".

"En ese sentido, la longitud uniforme es una proporción. De la longitud de una cosa dada por la longitud de 1 metro. Entonces, ¿las longitudes son adimensionales?"

No, si son, entonces, ¿de dónde vino el metro , ¿por qué no fue 1 pie o 1 milla?

Porque la longitud es relativa, pero el ángulo es absoluto.

(Existe un ángulo máximo con el cual se puede comparar, pero no una longitud máxima).

Al realizar un análisis dimensional, algunos términos tendrán cantidades físicas asociadas (p. ej., tiempo, carga y longitud), algunos tienen cantidades y direcciones (p. ej., fuerza, par y distancia) y algunos no tienen ninguna. Algunas, como la pendiente y la rotación, tienen direcciones encapsuladas, pero no cantidades físicas [la pendiente es una relación entre el movimiento en una dirección y el movimiento en otra, y solo tiene sentido en el contexto de esas direcciones]. En general, al aplicar a los términos del mundo real donde solo la dirección es significativa, será necesario combinar un vector asociado al término con otro vector en el mundo real, en un proceso que normalice sus longitudes en relación con un vector unitario. .

Por ejemplo, suponga que el lecho de un lago tiene una pendiente descendente del 75% en la dirección norte / sur, y alguien que desea viajar 4 metros hacia el norte a lo largo de la superficie desea saber cuánto más profunda será el agua. Empiece por dividir la distancia "4 metros al norte" por un vector unitario en la dirección norte, lo que arroja una longitud de 4 metros. Luego multiplique esa longitud por la pendiente (0,75) y luego por un vector unitario en la dirección descendente, para obtener una distancia de 3 metros hacia abajo.

Tenga en cuenta que es posible convertir una distancia en la suma de otras dos o más distancias en diferentes direcciones, pero las distancias solo se pueden sumar si van en la misma dirección. Si alguien viaja 14.14 metros al noreste y luego 14.14 metros al noroeste, se traducen en "10 metros al norte más 10 metros al este" y "10 metros al norte más -10 metros al este", lo que arroja una suma de 20 metros al norte.

Los ángulos de rotación son un poco complicados porque la aplicación de la rotación a un sistema cambiará todos los vectores que contiene, incluidos los que se utilizan para definir la rotación. Aún así, se aplican los mismos principios: la longitud de los vectores rotacionales es significativa en relación con la longitud de un vector unitario. Dado que todos los vectores unitarios tienen la misma longitud (se define como precisamente uno), solo es necesario definir vectores unitarios en contextos donde la dirección es importante.

Medidor se refiere a algo bastante físico. Dos personas deberían poder medir algo llamado "medidor" y estar de acuerdo en que son lo mismo. NIST dice:

El metro es la longitud del camino recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Los ángulos vienen en unidades, p. ej. grados o radianes . $ 1 ^ \ circ $ es $ \ tfrac {1} {360} $ de una rotación completa de un círculo. Ojalá todos podamos estar de acuerdo en lo que eso significa. Posiblemente no.

En el sistema SI de unidades, los ángulos son adimensionales.Existe un sistema de unidades donde el radianes es una unidad base distinta y el estereorradián es una unidad derivada real.Consulte https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC61354/.

Los ángulos no contienen información sobre la ubicación en el espacio-tiempo.